资源描述：
《线性代数第3版 教学课件 作者 陈建华 41欧氏空间.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章矩阵相似对角化一、向量内积4.1欧氏空间Rn——定义了内积运算的n维实向量空间二、三维向量长度，推广:为此引入:1.定义在Rn中,设向量，，称为向量与的内积,记:或(加法,数乘,内积三种运算)2.性质：(1)对称性且例2设，求解≥0(2)线性性(3)正定性例1设，求解=4×2+2×6+(-3)×4+1×3=11二、向量长度1.定义Rn中向量的长度定义为;也称为向量范数.长度为1的向量称为单位向量.例:2.性质(1)且注:任一非零向量均可单位化——为单位向量.(2)(3)即:(柯西－布涅可夫斯基不等式)且与线性相关证:1)与线性相关2)与线性无关>0选取适当的k，使该式值为0,即证得不
2、等式.(三角不等式)1.定义三、向量的夹角与向量正交夹角若，称向量与互相正交2.性质(1)零向量与任何向量正交.(2)与正交且与互相正交证：(勾股定理)(3)而与互相正交夹角的余弦定义为Rn中向量与且与线性相关例3(P112例4-1)设解(1)(1)求，并使向量和单位化;(2)求及;(3)求及(4)求验证满足Cauchy不等式和三角不等式.(2)(4)Cauchy不等式成立:=0=3-3+5+3=8=0(3)三角不等式成立:证：设为正交向量组设(向量零)两端与求内积得线性无关.四、标准正交基例:(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T1.定义Rn中两两正交的不含零向量的向量组称
3、为正交向量组;单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组;一组基中的向量两两正交,称为正交基;正交基中每个向量都是单位向量,称为标准正交基.标准正交基满足(i,j＝1,2,…,s)2.定理正交向量组线性无关(数零)标准正交基即n个向量构成的单位正交向量组由Rn中任一线性无关向量组可生成等价的正交向量组——施密特正交化方法：即3.求法2)单位化化Rn的一组基为标准正交基:1)正交化…(k＝2,3,…,m)1)易见，与等价(可相互线性表示)也线性无关.2)用数学归纳法证是正交向量组:s=2时,与正交假设s=k－1时成立,即两两正交,要证分别与正交.=0证毕.=0s＝k时也成立,只要证(j=1,
4、2,…,k-1)例4:设为R3的一组基，将其化为标准正交基.解(1)正交化:为与的正交向量组.等价(2)标准化(单位化):为R3的标准正交基.例5设(可验证其为正交向量组)将其扩充为R4的一组基?与均正交－正交基标准正交基单位化(能否构成R4的一组基?)正交基?线性无关，试将正交化例6求齐次线性方程组解空间的一个标准正交基x3＝2x4x1＝x2＋x4∴r(A)<4,必有非零解!令分别为得解空间的一个基(P116例4-4)2)单位化得方程组解空间解空间的一个标准正交基正交化得解空间的一个正交基:五、正交矩阵1.定义QTQ＝E,称Q为正交矩阵.2.性质设P、Q为正交矩阵，则(1)或从而有：Q为
5、正交阵(3)Q－1=QT及PQ为正交矩阵例:单位矩阵E,均为正交矩阵.(QT)TQT=QQT=E(PQ)TPQ=QTPTPQ=QTQ=EQTQ=PTP=E(2)Q－1=QTQ－1=QT2021/8/1517第四章向量空间3.定理设Q是n阶实方阵，则Q是正交矩阵Q的列向量组为Rn的一组标准正交基设为E(判断正交矩阵:均单位向量两两正交(行)QTQ=EQTQ=QTQ=E或检查列向量组)例7(04考研)A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1,0,0)T.则线性方程组AX=b的解为故a12＝a13＝0Q是正交矩阵Q的列向量组为Rn的一组标准正交基(行)由AX=b得:X=A－1b=
6、ATe1又因为a11=1,=A1(AT的第一列,即A的第一行)∴X=(1,0,0)T(1,0,0)TA－1=ATA可逆，A是正交矩阵,故:2021/8/1519第一章行列式abc返回(x1,y1)(x2,y2)
