高考数学一轮复习课后限时集训42空间图形的基本关系与公理文北师大版.docx

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1、课后限时集训42空间图形的基本关系与公理建议用时：45分钟一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为(　　)①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2　　　　C．3　　　　D．4B　[根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E

2、，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)A．相交B．异面C．平行D．垂直A　[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．]3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC　[对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不

3、正确，根据异面直线所成角的定义知C正确．]4．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外A　[如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.D　[

4、连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝，A1B＝BC1＝，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝＝.]二、填空题6．已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．4　[作出长方体ABCDEFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]7．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数

5、为________．30°　[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂

6、直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④　[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]三、解答题9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点．[证明](1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.又因为CG＝BC，CH＝DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共

7、面．(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC＝M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点．10．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补

8、角)．在△