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1、第一章第三节极限运算一、极限的四则运算法则三、两个重要极限四、无穷小的比较二、复合函数的极限运算法则一、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由无穷小之和仍无穷小，可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理1.若定理2.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)证:例1.求例2.设n次多项式试证证:1.多项式型为无穷小定理3.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,注1.以上结论均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;
2、2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数情形.定理例4.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.若例3.求2.分母极限不为0型例如.x=3时分母为0!例5.分子也为03.型约去公因子解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例6约去公因子法也不能用4.利用无穷小、无穷大运算性质求极限但因解:(4)x=3时分母=0,分子≠0,但因解:(3)x=1时分母=0,分子≠0,例7解例8求解:原式(消去零因子法)5.例9.求解:时,分子分子分母同除以则分母原式(无穷小因子分出法)为非负常数)一般有如下结果：=06.型无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母
3、,以分出无穷小,然后再求极限.定理4.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.解例10原式＝====27.无穷项之和不能用和的极限运算法则例11解左右极限存在且相等,8.利用左右极限求分段函数极限二、复合函数的极限运算法则例12.求解:法1时,则法2时,则换元法：将原式中的x都用u代替，将关于x的极限过程改为关于u的极限过程。定理5.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.定理5.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得例13.求解:令已知∴原式=例14.求解:法1则令∴原式法2时,时,例15：设(n=1,2,…)，
4、试证数列极限存在，并求此极限。证：由及知设对某正整数k有则有故由归纳法，对一切正整数n，都有即为单调减少数列，且解得所以例16设，证明存在并求此极限；证明:当时,设，则∴｛｝单增有上界，从而必有极限。设，则由得∴又设，则(2),消去零因子法1.极限四则运算法则2.求函数极限的方法(3)对型,约去公因子,分子分母同除分母最高次幂Th1Th2Th3Th4总结作业P33习题1-3中第1题(4)型(无穷小因子分出法)(5)无穷项之和,变形后求极限(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限(7)利用左右极限求分段函数极限(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限(8)复合函数极限求法设中间变量思考
5、及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问
