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《工程应用数学 第2版 教学课件 作者 万金保 8-3.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、工程应用数学§8.3定积分的应用1§8.3定积分的应用§8.3定积分的应用8.3.1微元分析法引例6曲边梯形的面积．求由连续曲线y=f(x)，x轴及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积．①分割②取近似③求和④取极限2§8.3定积分的应用这四步可提炼简化为以下2步：（1）分割、取近似（求微元）设想将区间[a,b]分成n个小区间，由于每个小区间的做法相同，所以只考虑其中任意一小区间[x,x+dx]即可，在任意区间[x,x+dx]内，小曲边梯形面积近似值为ΔS=f(x)dx．称f(x)dx为总面积的微元（元素），记作dS=f(x)dx
2、．3§8.3定积分的应用（2）求和、取极限（求积分）将总面积的微元加起来再取极限，得总面积为这种先求整体量的微元再用定积分求整体量的方法叫做微元法.分割的目的在于取近似,取近似经常运用:以不变代变;以直代曲;以均匀代不均匀.4§8.3定积分的应用在进行第二步求积分的过程中，发现它们都满足下述三个条件：1）所求的量F是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量；2）量F对于区间[a,b]具有可加性；3）任意小部分量dF的近似值表示为dF=f(x)dx5§8.3定积分的应用一般地，如果一个量F满足上述三个条件，我们就可以考虑用定积分来表达
3、这个量．确定量F的积分表达式的步骤是：①根据问题的具体情况，选择一个变量，如x，并确定它的变化区间[a,b]；②取区间[a,b]的任一小区间并记作[x,x+dx]，求出量在这一小区间上的微元dF=f(x)dx，③所求量为6§8.3定积分的应用8.3.2平面图形的面积求由连续曲线f(x)(f(x)≥0)，x轴及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积7§8.3定积分的应用例8–29有一模具放到直角坐标系中，形成由y=x2，x=1及x轴所围图形，现求其面积．Oxy18§8.3定积分的应用2.求由连续曲线y=f(x),y=g(x)(f(x
4、)≥g(x))以及直线x=a、x=b所围成的图形的面积由定积分的微元法可知：Oxyabxx+dx9§8.3定积分的应用例8–30计算由抛物线y=x2和x=y2所围成图形的面积．Oxy11解求交点：得(0,0)和(1,1)10§8.3定积分的应用例8–31计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积．解求交点：得(2,-2)和(8,4)Oxy484-4(2,-2)(8,4)yy+dy11§8.3定积分的应用Oxy484-4(2,-2)(8,4)yy+dy12§8.3定积分的应用8.3.3体积旋转体就是由一个平面图形绕其所在平
5、面内的一条定直线旋转一周而成的立体图形．圆柱、圆锥、圆台、球体等都是旋转体．13§8.3定积分的应用如图所示的旋转体是由连续曲线y=f(x)，x轴及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的，用微元法来求这个旋转体的体积．baOxyxx+dx14§8.3定积分的应用类似地，我们还可以得到由曲线x=g(y)、直线y=c、y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为cdOxyyy+dy15§8.3定积分的应用例8–32计算高为h、底面半径为r的圆锥体的体积．解此圆锥体可以由图所示的直角三角形OAB绕x轴旋转而
6、成．所以，圆锥体的体积为Oxyhr16§8.3定积分的应用例8–33某人用计算机设计出一浴缸，想知道其体积．把它放在直角坐标系中，是由y=x2、y=1、y=2以及y轴所围图形绕y轴旋转一周而成．Oxy2117§8.3定积分的应用8.3.4函数的平均值引例7某物体作变速直线运动,其速度为v(t).现计算从t=a到t=b这段时间内的平均速度．解由定积分思想可得物体经过时间段[a,b]的路程为那么，物体在时间段[a,b]内的平均速度为18§8.3定积分的应用一般地，连续函数f(x)在区间[a,b]上的平均值为例8-34正弦交流电的电流强度
7、为i=i(t)=I0sinwt，I0是电流的最大值,称为峰值.计算此正弦交流电在一周期上的功率的平均值（简称平均功率）.19§8.3定积分的应用解设电阻为R，那么这电路中的电压为而功率为因此，功率p(t)在一个周期区间上的平均值为20§8.3定积分的应用21§8.3定积分的应用从结论可以看出，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一，即等于最大瞬时功率的一半．与直流电功率相比较，正弦交流电的平均功率相当于电流强度为0.707I0的直流电的功率．因此，称0.707I0为正弦交流电的电流的有效值，记作I有效．
8、则有I有效=0.707I0，就是说正弦交流电的有效值等于它的峰值的0.707倍．22§8.3定积分的应用通常交流电器上标明的功率是平均功率，电流值是电流的有效值，电压值是电压的有效值．一般地，称为函数f(t)在区间[a,b]上的均方根
