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《工程应用数学 第2版 教学课件 作者 万金保 9-1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、工程应用数学第9章多元微积分1工程技术等应用问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映在数学上就要求我们讨论这样的函数——因变量依赖于多个自变量的函数——多元函数．本章主要内容为：多元函数微分学，二重积分、曲线积分及曲面积分．第9章多元微积分2§9.1多元函数与偏导数§9.1多元函数与偏导数9.1.1多元函数的概念引例1三角形的面积S和它的底边长b以及底边长上的高h之间有关系式bh3§9.1多元函数与偏导数引例2圆柱体的体积V和它的底半径r，高h之间具有关系式引例3一根截面为矩形的梁，其抗弯截面模量W与截面的高h及宽b之间
2、的关系为4§9.1多元函数与偏导数引例2圆柱体的体积V和它的底半径r，高h之间具有关系式引例3一根截面为矩形的梁，其抗弯截面模量W与截面的高h及宽b之间的关系为5§9.1多元函数与偏导数定义9-1设有三个变量x,y及z．如果当变量x和y在一定变化范围取定一对数值时，如果变量z按照一定的法则f总有确定的数值与它们对应，则称z是x,y的二元函数，记为z=f(x,y)．其中x,y称为自变量，z称为因变量．自变量x,y的取值范围称为函数的定义域．6§9.1多元函数与偏导数9.1.2二元函数的定义例9-2求下列函数的定义域，并
3、画出图形．解：Oxy2-23-37§9.1多元函数与偏导数解：Oxy2-21-18§9.1多元函数与偏导数9.1.3二元函数的几何意义当函数f(x,y)的自变量x,y在其定义域D内变化时，其对应的函数值z与自变量x,y一起构成空间内一动点(x,y,z)，其轨迹形成一张曲面Σ，称之为二元函数z=f(x,y)的图形定义域D就是曲面在平面的投影．9§9.1多元函数与偏导数9.1.4二元函数的极限定义9-2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)附近有定义（点P0可除外），当点P(x,y)无限接近P0(x0,y0)时，对
4、应的函数值无限接近某个确定的常数A，我们就说A是函数z=f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限，记为10§9.1多元函数与偏导数例9-3求极限解：令u=x2+y2，当x→0,y→0时，u→011§9.1多元函数与偏导数例9-4考察函数当(x,y)→(0,0)时的极限是否存在．解：当点(x,y)沿直线y=kx(k≠0)趋向于原点,有显然它随着k的值的不同而改变的,故极限不存在12§9.1多元函数与偏导数9.1.5二元函数的连续性9.1.5.1二元函数的连续性定义9-3设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)附近有
5、定义，如果当点P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限存在，且等于它在点P0处的函数值．即则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续．13§9.1多元函数与偏导数如果函数在区域D内各点都连续，则称函数在区域D内连续9.1.5.2有界闭区域上连续函数的性质①最大值、最小值定理在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取到最大值和最小值．②介值定理在有界闭区域上连续的二元函数能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至少一次．14§9.1多元函数与偏导数9.1.6偏导数9.1.6.1
6、偏导数的定义定义9-4设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的附近有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)如果存在15§9.1多元函数与偏导数则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的一阶偏导数（简称偏导数），记作即16§9.1多元函数与偏导数类似地，函数在点处对的偏导数定义为记作17§9.1多元函数与偏导数如果f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那末这个偏导数是x,y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变
7、量x的偏导函数，记作类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作18§9.1多元函数与偏导数对二元及多元函数也有类似的二阶及高阶偏导数．如若二阶混合偏导数连续,则19§9.1多元函数与偏导数9.1.6.2偏导数的求法由偏导数的定义可以看出,对某一个变量求偏导,就是将其余变量看作常数,而对该变量求导例9-5求函数z=x2-3xy+2y3在点(2,1)处的两个偏导数．解：20§9.1多元函数与偏导数例9-6求函数z=x2sin2y的一阶和二阶偏导数．解：21§9.1多元函数与偏导数例9-7设z=xy(x
8、>0)，求证证明：22§9.1多元函数与偏导数9.1.7全微分定义9-5如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)其中A、B与Δx、Δy无关，则称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dy，即dz=AΔx+BΔy23§9.1多元函数与
