向量组等价、线性相关性.ppt

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1、存在非零列向量及非零行向量，使得证可逆矩阵P,Q,令其中则为非零列向量,(P的第一列非零)且成立。为非零行向量,（Q的第一行非零）P80.19、证明存在非零列向量及非零行向量，使得而中至少有一个元素非零又积的秩不超过因子矩阵的秩21、设A为矩阵,证明有解有解已证1、或表示方法：求出方程组的解作组合系数矩阵表示形式：复习：向量、向量组的线性表示向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！表示系数为列！2、向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题！线性表示,m=s时系数矩阵为方阵！表示系数为行！任何向量组可由单位向量组表示！能由向量组A

2、线性表示能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价.等价的充要条件（p84定理2推论）4、向量组与向量组等价定义（p83)向量组的等价关系具有:自反性、对称性、传递性！则向量组E与向量组A等价？例2(p86)设证明证所以向量组A与向量组B等价反之不一定！等价的必要条件向量组与单位向量组等价的条件能由向量组A线性表示与向量组等价？即B的行的向量组可由A的行的向量组线性表示，所以，A的行的向量组可由B的行的向量组线性表示。重要但A~B不能保证A与B的行向量组或列向量组等价向量组的等价与矩阵的等价同理，A~BA的列组与B的列组等价.思考但A~B不能保证A与

3、B的行向量组或列向量组等价其标准型但但其列、行组都不等价思考B与PA的列向量组等价，B与AQ的行向量组等价B与A的列向量组等价，B与A的行向量组等价例：所以若组A~组B,矩阵一般不成立！A,B不一定同型！同型组A可用组B表示组B可用组A表示反之含向量个数相等的同维数的向量组等价时矩阵等价！m=l情况下——A与B列满秩可逆！P70例9的结果A、B列满秩时，系数矩阵可逆这时，组A与组B同解方程组A方程组B线性方程组的等价设有方程组组B的每个方程都是方程组A的线性组合！（即B中方程皆由A中方程经线性运算得到）方程组A和方程组B能互相线性表示！方程组B能由方

4、程组A的线性表示B的增广矩阵的行向量组可由A的增广矩阵的行向量组线性表示.故这时，组A的解也是组B的解方程组A的线性组合：由A中方程经线性运算得到的方程！（用矩阵解决方程组的深层依据）方程组B能由方程组A线性表示：方程组B与方程组A等价（互推）：？对齐次线性方程组有同样结论A与B行等价是从而，方程组Ax=o与Bx=o同解反之，向量组矩阵线性方程组行向量组为行构成矩阵列向量组为列构成矩阵矩阵的一行（列）元素构成一个行（列）向量矩阵的全部行（列）向量构成行（列）向量组一个方程的系数及常数项构成行向量一个未知数的系数构成列向量系数矩阵、增广矩阵对应行（列）

5、向量组向量组A与B等价方程组等价（同解）向量组线性组合方程组线性组合矩阵的乘法向量组由向量组表示方程组由方程组表示矩阵的初等变换向量由向量组表示方程组有解矩阵的初等变换矩阵的行或列等价C的列向量组可由A的列向量组线性表示，系数矩阵就是BC的行向量组可由B的行向量组线性表示，系数矩阵就是A两个方程组等价（同解）B是矩阵方程AX=C的解A是矩阵方程YB=C的解表示系数？表示系数？常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价方程组有解本节重点掌握向量、向量组、向量组的线性组合、向量由向量组线性表示、向量组等价概念，判定条件，

6、方法，形式重在理解!引入设有向量组A:零向量可由A线性表示，§2向量组的线性相关性一定有：表示系数全为0我们关心的是：是否还有一组（m个）不全为零的数使得：至少一个不为0这两者的本质不同是什么呢？也就是对与向量组A：仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量？也有组合系数不全为零时其线性组合为零向量？本质上的不同对向量组而言至关重要！或曰线性相关。若有一组不全为零的数使得：比如至少有则能用其它m-1个向量线性表示，至少一个不为0这样我们就说向量之间有了实实在在的线性关系，即向量组中，至少有一个向量若仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量，则组中任何向量都

7、不能用其它向量线性表示即只有向量之间没有线性关系或曰线性无关。k0则它线性相关;线性无关.线性相关.基本结果：定义4（p87)(1)当向量组只含一个向量时,若该向量是非零向量,(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.线性无关.0则它线性无关.共线若该向量是零向量,(4)n维单位坐标向量组(P.88例4，待证)?当且仅当ki都为零时,()式成立1(3)含有零向量的向量组线性相关.当且仅当时,成立成立相关性条件线性无关只有零解R(A)=m线性方程组向量组A:向量组A:线性方程组向量组构成的（列）矩阵R(A)

8、矩阵方程判定一个向量组的线性相关性是重要的！用定义，用条件！定理4（p88）向量组R(A)