高中数学-函数的性质典型例题讲解.pdf

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1、函数的单调性和奇偶性（HSXZ71-1）函数性质分类型讲解类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1

2、)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2.判断下列函数的单调区间；2(1)y=x-3

3、x

4、+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=

5、x+1

6、；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函

7、数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三

8、、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)23.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4.求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；2(2)y=x-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(

9、1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.25.已知二次函数f(x)=x-(a-1)x+5在

10、区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；2(2)∵f(2)=2-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6.判断下列函数的奇偶性：(1)(2)2(3)f(x)=x-4

11、x

12、+3(4)f(x)=

13、x+3

14、-

15、x-3

16、(5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇

17、非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；22(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x-4

18、x

19、+3=f(x)，则f(x)=x-4

20、x

21、+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=

22、-x+3

23、-

24、-x-3

25、=

26、x-3

27、-

28、x+3

29、=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x

30、x

31、+x∴f(-x)=-(-x)

32、-x

33、+(-x)=x

34、x

35、-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【

36、变式1】判断下列函数的奇偶性：2(1)；(2)f(x)=

37、x+1

38、-

39、x-1

40、；(3)f(x)=x+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=

41、-x+1

42、-

43、-x-1

44、=-(

45、x+1

46、-

47、x-1

48、)=-f(x)∴f(x)为奇函数；22(3)f(-x)=(-x)+(-x)+1=x-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)为