高中数学 典型例题 函数的极值 新课标

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1、利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：1．；2．；3．分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1．函数定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在（－2，2）上是减函数．∴当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2．函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（0，2）上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．3．函数的定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（－1，1）上是增函

2、数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例求下列函数的极值：1．；2．分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函

3、数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．解：1．令，解得，但也可能是极值点．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在（0，2）上是减函数．∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．2．∴令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当或时，，∴函数在和上是增函数．∴当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值．说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无

4、关．根据函数的极值确定参数的值例已知在时取得极值，且．1．试求常数a、b、c的值；2．试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．解：1．解法一：．是函数的极值点，∴是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又，∴，（3）由（1）、（2）、（3）解得．解法二：由得，（1）（2）又，∴，（3）解（1）、（2）、（3）得．2．，∴当或时，，当时，∴函数在和上是增函数，在（－1，1）上是减函数．∴当时

5、，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．