高中数学 典型例题 函数的极值 新课标

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1、利用导数求函数的极值例求下列函数的极值:1.;2.;3.分析:按照求极值的基本方法,首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解:1.函数定义域为R.令,得.当或时,,∴函数在和上是增函数;当时,,∴函数在(-2,2)上是减函数.∴当时,函数有极大值,当时,函数有极小值2.函数定义域为R.令,得或.当或时,,∴函数在和上是减函数;当时,,∴函数在(0,2)上是增函数.∴当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值.3.函数的定义域为R.令,得.当或时,,∴函数在和上是减函数;当时,,∴函数在(-1,1)上是增函

2、数.∴当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值说明:思维的周密性是解决问题的基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题,注意各种条件综合运用,方可实现解题的正确性.解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件,如果再加之附近导数的符号相反,才能断定函数在处取得极值.反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.复杂函数的极值例求下列函数的极值:1.;2.分析:利用求导的方法,先确定可能取到极值的点,然后依据极值的定义判定.在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的点.这两类点就是函

3、数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”.解:1.令,解得,但也可能是极值点.当或时,,∴函数在和上是增函数;当时,,∴函数在(0,2)上是减函数.∴当时,函数取得极大值,当时,函数取得极小值.2.∴令,得.当或时,,∴函数在和上是减函数;当或时,,∴函数在和上是增函数.∴当和时,函数有极小值0,当时,函数有极大值.说明:在确定极值时,只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况,确定极值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题1中处,2中及处函数都不可导,但在这些点处左右两侧异号,根据极值的判定方法,函数在这些点处仍取得极值.从定义分析,极值与可导无

4、关.根据函数的极值确定参数的值例已知在时取得极值,且.1.试求常数a、b、c的值;2.试判断是函数的极小值还是极大值,并说明理由.分析:考察函数是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极值点与导数的关系,即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式,运用待定系数法求出参数a、b、c的值.解:1.解法一:.是函数的极值点,∴是方程,即的两根,由根与系数的关系,得又,∴,(3)由(1)、(2)、(3)解得.解法二:由得,(1)(2)又,∴,(3)解(1)、(2)、(3)得.2.,∴当或时,,当时,∴函数在和上是增函数,在(-1,1)上是减函数.∴当时

5、,函数取得极大值,当时,函数取得极小值.说明:解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化,在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向.可见出路在于“思想认识”.在求导之后,不会应用的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍.

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