两圆的公共弦(新高二).doc

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1、两圆的公共弦（新高二）如果两圆C:x+y+Dx+Ey+F=0与C:x+y+Dx+Ey+F=0相交，则对应一条公共弦AB，将这两圆的方程相减可以得到(D−D)x+(E−E)y+(F−F)=0,因为两圆相交，所以D−D与E−E不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，且两圆的公共点A,B的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知A,B在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线．结论　如果两圆C:x+y+Dx+Ey+F=0与C:x+y+Dx+Ey+F=0相交，则公共弦所在直线的方程为(D−D)x+(E

2、−E)y+(F−F)=0.由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：过圆C:(x−a)+(y−b)=r外一点P(x,y)作圆的两条切线PA,PB，其中A,B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解　因为∠PAC=∠PBC，所以P,A,C,B四点共圆，且PC为直径，所以这四点所在的圆的方程为(x−a)(x−x)+(y−b)(y−y)=0,记此圆为圆M． 则圆C与圆M的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程(x−a)(x−a)+(y−b)(y−b)=r.注　上面的过

3、程中用到：以(x,y),(x,y)为直径的圆的方程为(x−x)(x−x)+(y−y)(y−y)=0,这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明．例题一　(1)圆C:x+y+4x+1=0及圆C:x+y+2x+2y+1=0的公共弦长为_____，以公共弦为直径的圆的方程为______________；(2)若圆(x−a)+(y−b)=b+1始终平分圆(x+1)+(y+1)=4的周长，则a,b满足的关系是__________________．分析与解　(1)两圆相减得x−y=0，第二个圆的圆心(−1,−1)恰在

4、公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为2，以公共弦为直径的圆的方程为x+y+2x+2y+1=0，(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为(2+2a)x+(2+2b)y−(a+1)=0,由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心(−1,−1)始终在公共弦上，代入整理得a+2a+2b+5=0.例题二　圆O:x+y=4与圆C:x+y−8x+8=0的公共弦为AB，则四边形OACB的面积为_____．分析与解　将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x=．于是圆心O到公共弦AB的距离d

5、=，从而知AB==,故公共弦AB=．又因为AB⊥OC，所以所求四边形面积S=⋅OC⋅AB=2.最后给出两道练习：练习一　已知两圆x+y=50和x+y−12x−6y+40=0相交于A,B两点，则直线AB的方程是_______，弦AB的长度是_______．答案　2x+y−15=0，2．提示　第二个圆的圆心(6,3)在公共弦上，故AB是此圆的直径．练习二　若圆x+y=4与圆x+y+2ay−6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=____．答案　．注　“将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相

6、交．当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线上．事实上，这条直线是这两个圆的根轴，即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合（点P对圆O的圆幂定义为PO−r，其中r为圆O的半径）．