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1、深圳大学高等数学AA22补充题答案及自测题答案1§7—11．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,2,3)−第IV卦限B(2,3,4)−第V卦限C(2,3,4)−−第VIII卦限D(2,3,1)−−第III卦限．2．证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形．证明：如图所示D�C�a∵AM=MCbMBM=MDAB∴AD=AM+MD=MC+BM=BCAD与BC平行且相等，结论得证．�������3．已知两点M(4,2,1)和M(3,0,2),计算向量MM的模，方向余弦和方向角1212�������以及平行于向量MM的单位向量．1
2、2解：MM=−i−2j+k12222MM=(4−3)+(2−0)+(1−2)=212121方向余弦：cosα=−，cosβ=−，cosγ=．2222π3ππ方向角：α=，β=，γ=．343121平行于向量MM的单位向量是∓i∓j±k．122224．设m=3+5+8ijk,n=2i−4j-k7,p=5+ij−4k,求a=4m+3n−p在x轴上的投影及在y轴上的分向量．解：因为a=4m+3n−p2=4(3i+5j+8k)+3(2i−4j−7k)−(5i+j−4k)=13i+7j+15k所以在x轴上的投影为a=13．在y轴上的分向量为7j．x§7
3、—2��������������1．已知M(1,1,2)−，M(3,3,1)和M(3,1,3)，求同时与MM，MM垂直的单1231223位向量．解：MM=2i+4j−k，MM=−2j+2k，1223��设所求向量为b=(a,b,c)，因为b⊥MM，所以2a+4b−c=012�因为b⊥MM，所以−2b+2c=0，23�222因为
4、b
5、=1，所以a+b+c=1322求得a=±，b=∓，c=∓171717�322故所求单位向量为e�=(±,∓,∓)b171717���ijk�方法二：所求向量b=±MM×MM=±24−1=±(6,−4,−4)122
6、20−22��b±(6,−4,−4)322故e�=�==(±,∓,∓)b
7、b
8、36+16+161717172．设a=3,5,-2{}，b=2,1,4{}，问λ与µ有怎样的关系能使λa+µb与z轴垂直．解：λi+µb=λ(3i+5j−2k)+µ(2i+j+4k)=(3λ+2µ)i+(5λ+µ)j+(−2λ+4µ)k因为与z轴垂直，所以−2λ+4µ=0⇒λ=2µ．3．设m=2+ab，n=k+ab，其中a=1，b=2，且a⊥b．(1)k为何值时，m⊥n；(2)k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为6？��解：(方法一)设a={a,a,a}，b
9、={b,b,b}，xyzxyz3222222由题意已知a+a+a=1，b+b+b=4，ab+ab+ab=0xyzxyzxxyyzz��m={2a+b,2a+b,2a+b}，n={ka+b,ka+b,ka+b}xxyyzzxxyyzz��(1)已知m⊥n，所以(2a+b)(ka+b)+(2a+b)(ka+b)+(2a+b)(ka+b)=0xxxxyyyyzzzz求得k=−2．��(2)根据题意，6=
10、m×n
11、，得k=−1，或k=5．���������2�2(方法二)(1)∵m⊥n，∴m⋅n=0⇒(2a+b)⋅(ka+b)=0⇒2k
12、a
13、+
14、b
15、
16、=0⇒2k+4=0⇒k=−2.������(2)∵S=6，∴
17、m×n
18、=6⇒
19、(2a+b)×(ka+b)
20、=6⇒��������
21、2(a×b)−k(a×b)
22、=6⇒
23、2−k
24、⋅
25、a×b
26、=6⇒
27、2−k
28、⋅
29、a
30、⋅
31、b
32、=6⇒
33、2−k
34、=3⇒k=−1或k=5.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程．解：设动点坐标为(x,y,z)，根据题意，有222222(x−2)+(y−3)+(z−1)=(x−4)+(y−5)+(z−6)等式两边平方，然后化简得4x+4y+10z−63=0．2．求以点O(1,3,
35、2)−为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为(x,y,z)，根据已知条件，得222222(x−1)+(y−3)+(z+2)=(0−1)+(0−3)+(0+2)222整理得x+y+z−2x−6y+4z=0．3．画出下列方程所表示的曲面：222(1)4x+y+z=4；解：椭球抛物面4222(2)x+y−4z=0；解：圆锥面22zxy(3)=+．349解：旋转抛物面5§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：⎧x=1(1)⎨；⎩y=2解：⎧⎪z=4−x2−y2(2)⎨；⎪⎩x−y=0解：6222⎧x+y=a(3)⎨．222⎩x
36、+z=a解：22⎧xy⎪+=12．方程组⎨49在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？⎪⎩y=322xy解：在平面解析几何中，表示椭圆+=1与直线y=3(其实是过点(0,3)的
