高数课件数列的极限.ppt

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1、第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、小结习题“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术播放——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积（2）截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如2数列的定义注意1数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2数列是整标函数播放3数列的极限问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上

2、面演示实验的观察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意几何解释其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.机动目录上页下页返回结束例4证所以说明常数列的极限等于同一常数.小结用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.1唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极

3、限.证法一:由定义,故收敛数列极限唯一.二、收敛数列的性质证法二:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束2有界性例如,有界无界定理2收敛的数列必定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束注意有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.3.收敛数

4、列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束4子数列注意例如，定义三、小结习题数列研究其变化规律;数列极限数列极限的“–N”定义；收敛数列的性质有界性、唯一性、保号性;子数列的定义.解习题解答P312题习题解答[返回习题]习题解答P313题(3)证习题解答[返回习题]作业P30-311(2),(4),(6),(8)第三节目录上页下页返回结束（1）割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的

5、定义1概念的引入（1）割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之

6、弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（1）割圆术——刘徽一、数列极限的定义1概念的引入3数列的极限3数列的极限3数

7、列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限3数列的极限知识回顾KnowledgeReview