力学数学预备知识(微积分与矢量).ppt

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1、1微积分学概要微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。牛顿2极限极限——对y=f(x)，若x无限趋近某一数值x0，f(x)则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f(x)在x趋近x0时的极限，记作：3若函数y=f(x)在

2、某一区间内各点均可导，则其导数f'(x)也是自变量x的函数，称为导函数。导函数f'(x)对x的导数叫做y对x的二阶导数，定义为：ΔyQPΔxyx函数y=f(x)对自变量x的导数，就是y对x的变化率，定义为：导数4微分若函数y=f(x)在点x处可导,则导数f’(x)与自变量增量dx（称为：自变量的微分）的乘积，就叫做函数y=f(x)在点x处的微分（称为：函数的微分），记作：dy=f'(x)dx函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为高阶微分。5极值点的充要条件是在该点的一阶导数为零，且在该点两侧的导数值异号。因此，令f'(x)=0即可求

3、出极值点x0若f"(x0)＜0，则为极大值点若f"(x0)＞0，则为极小值点函数的极值点和极值xyx1x26导数的运算导数定义给出了求导方法例如，求y=x2的导数：7基本函数的求导公式8⑴(u±v)'=u'±v'⑵(uv)'=u'v+v'u⑶(u/v)'=(u'v-v'u)/v2⑷设y=f(x)的反函数为x=φ(y)则φ'(y)=1/f'(x)⑸复合函数的导数设y=f(u),u=φ(x)，则（连锁律）导数的基本运算法则9例题10导数的应用质点沿x轴作直线运动的速度：质点沿x轴作直线运动的加速度：电流强度：11不定积分1、不定积分的定义若F’(x)=f(x)，则[F(x)+c]’=f

4、(x)，F(x)+c就叫做f(x)的原函数，有无穷多个；函数f(x)的所有原函数，就叫f(x)的不定积分，记为：∫f(x)dx=F(x)+c。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，c叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。（积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数）12不定积分...2、性质⑴(∫f(x)dx)'=f(x)(先积后导等于自身)⑵∫f'(x)dx=f(x)+c(先导后积等于自身加上任意常数)13基本积分公式⒈∫adx=ax+c∫af(x)dx=a∫f(x)dx⒉∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx⒊

5、∫xndx=xn+1/(n+1)+c(n≠-1)∫x-1dx=lnx+c⒋∫axdx=ax/lna+c∫exdx=ex+c⒌∫sinxdx=-cosx+c⒍∫cosxdx=sinx+c⒎∫sec2xdx=tgx+c⒏∫csc2xdx=-ctgx+c14换元积分法与分部积分法换元积分法适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式中的形式（又称凑积分）15换元积分法与分部积分法…分部积分法其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+v'udx=vdu+udv两边同时积分，得：uv=∫vdu+∫udv则∫udv=u

6、v-∫vdu16分部积分法…例题⑴∫xexdx=∫xdex=xex-∫exdx=xex–ex+c⑵∫lnxdx=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫dx=xlnx-x+c17不定积分的应用已知加速度求速度已知速度求位矢（或运动学方程）（见教材P36—37）18定积分⒈定积分概念设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，把[a,b]分成宽为Δx的n个小区间，当n→∞时，的极限叫函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：yxabxixi+Δxy=f(x)定积分的几何意义为曲边梯形的面积。19定积分的主要性质20牛顿—莱布尼茨公式设F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原

7、函数,即F'(x)=f(x),则称为牛顿—莱布尼茨公式（可以证明）。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。21牛顿—莱布尼茨公式…例题：22定积分的应用计算平面几何图形的面积计算立体的体积计算曲线的弧长变力的冲量质心计算变力做功转动惯量23矢量的概念矢量的初步概念既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量，用黑体字母或带箭头的字母表示：A,。矢量的大小又叫矢量的模，用或A表示。模等于1的矢量叫单位