六、离散系统的Z域分析.ppt

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1、理解拉普拉斯变换与Z变换的关系。Z变换的定义及收敛域的概念。理解系统函数与频率响应的概念，掌握离散系统的Z域描述和分析方法。学习的主要内容：掌握Z变换的性质，Z变换及逆Z变换的计算方法。第六章离散系统的z域分析在连续系统中，为了避免解微分方程，我们通过拉氏变换（数学方法）把微分方程转换为代数方程。出于同样的目的，也可以通过另外一种数学工具---z变换，把差分方程转换为代数方程。§6.1z变换从拉普拉斯变换到Z变换Z变换定义收敛域一、从拉普拉斯变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样，就得到离散信号:令z=esT，上式将

2、成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)→f(k)，得取双边拉普拉斯变换:二、z变换定义称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)三、收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是收敛域的定义：对于序列f(k)，满足组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。幂级数收敛，即序列f(k)

3、的z变换存在的充分必要条件。所有z值例1求以下有限序列的z变换(1)f1(k)=(k)↓k=0(2)f2(k)={1,2,3,2,1}解（1）可见，其单边、双边z变换相等，与z无关，所(2)f2(k)的双边z变换为F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2收敛域为0<z<∞f2(k)的单边z变换为收敛域为z>0对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，以其收敛域为整个z平面。有时它在0或/和∞也收敛。例2求因果序列解：根据定义的z变换可见：仅当az-1<1，即收敛域为

4、z

5、>

6、a

7、z>a

8、时，其z变换存在。例3求反因果序列解的z变换可见：b-1z<1,即z<b时，其z变换存在，收敛域为

9、z

10、<

11、b

12、例4双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解的z变换可见，其收敛域为a<z<b（显然要求a<b，否则无共同收敛域)序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；注意：对双边z变换必须表明收敛

13、域，否则其对应的序列将不唯一。例f1(k)=2k(k)←→F1(z)=,z>2f2(k)=–2k(–k–1)←→F2(z)=,z<2对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个常用序列的z变换：1，z>0(k)，z>1（单边因果），z<1–(–k–1)(k)圆以外的区域。可以省略§6.2z变换的性质线性性质移位性质Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和初值定理终值定理本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。一、线性性质若f1(k)←→F1(z)1

14、<z<1,f2(k)←→F2(z)2<z<2对任意常数a1、a2，则a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。例：2(k)+3(k)←→，z>12+二、移位特性单边、双边Z变换差别大！例1f(k)55f(k)ε(k)kkf(k+2)f(k+2)ε(k)kk3f(k-2)ε(k)f(k-2)kk3右移：双：信息全单：信息丢左移：双：信息全单：信息丢K:下限不同移位特性1.双边z变换的移位：若f(k)←→F(z),<z

15、<，且对整数m>0，则f(km)←→zmF(z),<z<证明：Z[f(k+m)]=2.单边z变换的移位：向右移位→丢失K<0信息若f(k)←→F(z),

16、z

17、>，且有整数m>0,则f(k-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(k-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1证明：右移位特性Z[f(k-m)]=上式第2项：令k-m=nZ[f(k-m)]=即：f(k-2)ε(k)k12特例：若f(k)为因果序列，则f(k–m)←→z-mF(z)把k:0--∞分成2部分单边证明：左移位特性→丢失K<

18、0信息f(k+1)←→zF(z)–f(0)zZ[f(k+m)]=令k+m=nf(k+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)zf(k+2)ε(k)k3思考：若f(k)为因果序列，则f(k+m)←→zmF(z)？例1：求周期为N的有始周期性单位序列的z变换。例2：求f(k)=kε(k)的单边z变换F(z)。f(k+1)=(k+1)ε(k+1)