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1、《数学分析续论》模拟试题(二)一、单项选择题(615)(1)设仏｝为一数列，对它有[]A.若存在收敛子列，贝1」｛如」必收敛；B.虽存在发散子列，但｛勺」仍可收敛；C.若所有子列都收敛，则｛如」必收敛；D.所有子列都收敛，但它们可有不同极限.(2)设/(兀)在(一co,+oo)上为一连续函数，则有[]A.值域f((a,b))必为一■开区间；B.值域f([a,/?])必为一闭区间；C./(/)为闭区间时，/亦必为闭区间；D.以上A、B、C都不一定成立.(3)若/；(«)>0,则35>0,使得当xG(tz,tz+
2、5)时，必有[]A./(兀)单调递増；B・/(x)>f(a)；C.若广(兀)存在，贝I」A成立；D.以上A、B、C都不一定成立.(4)设/(兀)在[a,b]上可导，则/(兀)在[a,b]上必定为[]A.既存在最人值，乂存在最小值；B.不能同吋存在最人值和最小值；C.在广(兀)二0的点处必取极值；D.以上A、B、C都不一-定成立.rb(5)己知Jf(x)dx>0,这吋必有[]aA.在[ayb]±/(x)>0:B.不能有无穷多个.f(x)取负值；C./(兀)取正值的兀要比取负值的兀多得多；D.不能只有有限多个/⑴
3、取正值.二、计算题(10^4)(1)试求下列极限:•x29①lim"TOCV2+4+A+2nn-4lim兀一＞+ooIsinr2dr0—■■X■■2ln(x2+y2)u=_y，«0=-1，/(»)=e~X/y(2)设试求广(“)与广("())•(3)试求由111!线y=lnx，直线x=e,x=£,及兀轴所围曲边梯形的面积S.XV(4)用条件极值方法(Lagrange乘数法)求内接于椭圆=+丄厂二1的长方形的最a2b2大面积.三、证明题(10'x3)(1)设/(%)在［a,b］±连续.试证：其中加与M分别是f(
4、x)在［a,〃］上的最小值与最大值.(2)利川凸苗数方法(詹森不等式)证明:(a+b+c'3a十+皿),其屮a.b.c为任意正数；并讨论当a.b.c为任意负数时，上述不等式应作怎样改变?(3)证明:y(-1)〃幺)5+1)3曲In捉示：把上式屮的级数看作co£n=0n+1(2)B；(3)B；(4)A；(5)D.二、（1）［解①lim7Z—>002+4+A+2/zn-4v5n=limn—>ocll—4limXT+8limX->+002xsinx43x2lim沁L)・x->+003x(2)［解fu)=2x~22
5、x+yX1一亍.——e)；2y22Xy9f(WQ=4_~5e22一52e2(3)［解所示，其面积为S=j)(-lnx)dx+jInxdxe］所围曲边梯形如右图=(x-xlnx)
6、+(xlnx-x)（4）［解］由题意，所求长方形的面积为S=4xy（x〉0,y>0）,其中（兀*）需满X27b故此为一条件极人值问题.依据Lagrange乘数法，设l=xj+x(2_+2_-i),并令=X+由方程组(F)容易解出:b],使得.再由连续,这说明值，恒有据题意，内接长方形的最小而积为零；故最人而积为S=4xy=2ab.三、
7、(1)[证]由闭区间上连续函数的最大、小值定理，3X,,X2G[6Z,/(X
8、)=m,f(x2)=M•若x}=x2,则m-M,于是/(.¥)恒为一常数，结论成立；现不妨设%]<兀2函数的介值性定理,Vyg(m,M),3xg(x1?x2)cz[a,b],使得f(x)=y域f([a.b])充满了整个闭区间[加，Ml.(2)[证]设/(x)=.x3.由于fx)=3x2+1,/M(x)=6x>0,xg(0,+8),所以于(兀)在(()，+8)上为一凸函数.根据詹森不等式，对任何正数a,b,ca+b+c13,33、
9、<—(a+b.I3丿3而当xe(-oo,0)时，/(兀)为一凹函数，故对任何负数a,b,c，恒有a+b+c13/33、、一(°+/T+C).<3/3(3)［证］由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限來计算级(-WX1数的和•此吋可以考虑把所求级数的和看作幕级数S(x)=Y丄丄上——在兀=—处的n=0川+13值，于是问题转为计算S(x).不难知道上述幕级数的收敛域为(-1.1］,经逐项求导得到8SXx)=工(一1)5",xe(-l,1]:n=0这己是一个儿何级数，其和为81s©)=工(―兀)
10、"=—,兀丘(一1,1]•n=01+兀再通过两边求积分，还原得S(x)—S(0)=[S'(/)df=f―!—dr=ln(1+x),JoJo1+r由于这里的5(0)=0,于是求得壬(-1)〃乙/,1〃+1n=05+1)3=S(
11、)=ln(l+
12、)=ln^-
