离散余弦变换(DCT)及其应用.ppt

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1、离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外，DCT还是一种可分离的变换。离散余弦变换（DCT）及其应用离散余弦变换（DCT）及其应用1.1一维离散余弦变换一维CT的变换核定义为:(1-1)式中，x,u=0,1,2,…,N－

2、1；(1-2)一维DCT定义如下：设{f(x)

3、x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。离散余弦变换（DCT）及其应用(1-3)式中，u,x=0,1,2,…,N－1。将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf(1-4)其中(1-5)离散余弦变换（DCT）及其应用一维DCT的逆变换IDCT定义为式中，x,u=0,1,2,…,N－1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。(1-6)1.2二维离散余弦变换考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为离散余弦变换（DCT）及其应用(1-7)式中，

4、C(u)和C(v)的定义同式（7-48）；x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二维DCT定义如下：设f(x,y)为M×N的数字图像矩阵，则(1-8)离散余弦变换（DCT）及其应用式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二维DCT逆变换定义如下：(1-9)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：F=GfGT(1-10)离散余弦变换（DCT）及其应用同时，由式(1-8)和式(1

5、-9)可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即(1-11)式中：C(u)和C(v)的定义同式（1-2）；x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。离散余弦变换（DCT）及其应用通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程与DFT类似，即(1-12)1.3快速离散余弦变换离散余弦变换（DCT）及其应用离散余弦变换的计算量相当大，在实用中非常不方便，也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT），在此介绍一种由FFT的思路发展起来的FCT。首先，将f(x)延拓

6、为x=0,1,2,…,N-1x=N，N+1,…,2N-1(1-13)离散余弦变换（DCT）及其应用按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT为(1-14)式中，Re{·}表示取复数的实部。离散余弦变换（DCT）及其应用由于为fe(x)的2N点DFT。因此，在作DCT时，可把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列fe(x)，然后对fe(x)作DFT，最后取DFT的实部便可得到DCT的结果。同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓为u=0,1,2,…,N-1u=N,N+1,…,2N-1(1-15)离散余弦变换（

7、DCT）及其应用由式(1-9)可得，DCT的IDCT为(1-16)由式（7-63）可见，IDCT可由的2N点的IDFT来实现。离散余弦变换（DCT）及其应用最后要注意的是二维DCT的频谱分布，其谱域分布与DFT相差一倍，如图1-1所示。从图中可以看出，对于DCT而言，(0,0)点对应于频谱的低频成分，(N-1,N-1)点对应于高频成分，而同阶的DFT中，(N／2,N／2)点对应于高频成分（注：此频谱图中未作频谱中心平移）。由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它们实现快速DCT和IDCT算法FCT及IFC

8、T。不过，由于FFT及IFFT中要涉及到复数运算，因此这种FCT及IFCT算法并不是最佳的。离散余弦变换（DCT）及其应用图1-1DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布；（b）DCT频谱分布1.4离散余弦变换在图像压缩中的应用1.4.1图像压缩概述多媒体数据的显著特点：数据量非常大。例如，一张彩色相片的数据量可达10MB；视频影像和声音由于连续播放，数据量更加庞大。这对计算机的存储以及网络传输都造成了极大的负担。解决办法之一就是进行数据压缩，压缩后再进行存储和传输，到需要时再解压、还原。在位图格式的图像存储方式中，像素与

9、像素之间在行方向和列方向都具有很大的相关性，我们说整体数据的冗余度很大，需要对图像数据进行很大程度的压缩离散余弦变换（DCT）及其应用离散余弦变换（DCT）及其应用多媒体数据的冗余类型多媒体数据表示中存在着大量的冗余，数据压缩技术就是利用多媒体数据的冗余性来减少