计算机应用数学 高职计算机大类专业基础 赵战兴 第5章 定积分及其应用 ppt 5 3 2.ppt

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1、第5章定积分及其应用5.3定积分的应用5.3.1定积分的微元法5.3.2定积分在几何上的应用5.3.2定积分的几何应用1º平面图形面积的计算1、直角坐标系下的面积公式（1）所界图形的面积:（2）所界图形的面积:A（3）所界图形的面积:A所界图形的面积:（4）解（5）所界图形的面积:A(1)作草图选取积分变量从图形可知选取x为积分变量例计算由曲线所界图形的面积A联立方程组解得两曲线的交点(3)计算积分(2)求两曲线的交点,确定积分区间从而确定积分区间:[-2,4]例计算由曲线x=2y2和x=1+y2所围成的图形面积1-1x=2y2x=1

2、+y2解(1)作草图,选取y为积分变量(2)求两曲线的交点,确定积分区间得y=-1,y=1,积分区间[-1,1]解联立方组：根据图形选取合适的积分变量有助于简化问题说明:153当y0=3时,x0=2两边对x求导得令x=2,y=3得切线方程即选取y为积分变量求由抛物线和它在纵坐标为y0=3的点处的切线以及x轴所围成图形的面积例解2解计算曲线与x轴在区间0,2n所围成区域的面积例2º旋转体的体积计算旋转体:xx+x空间体平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的计算此曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积（f(x)在a,b上连续）设曲边

3、梯形由y=f(x),x=a,x=b及x轴所界，(7)设子区间x,x+x上小曲边梯形绕x轴旋转的体积为V同理可得:(8)xx+x下面考虑曲边梯形:绕y轴旋转所得立体的体积y=d及y轴,曲边梯形x=g(y),y=c,设子区间x,x+x上小曲边梯形绕y轴旋转的体积为V的体积:绕y轴旋转所得绕x轴旋转所得的立体的体积:同理可得:曲边梯形(10)(9)解解例求由抛物线所围图形的面积,并将此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积画出草图,选取x为积分变量,积分区间为-1,1.所以,所围图形的面积所围图形绕x轴旋转的旋转体体积:解

4、当容器以匀角速度绕y轴旋转时,容器液面的轴截面截线方程为:设容器是底半径为R,高为H的圆柱形容器,里面盛例有水的体积为V,试求常数C(假定V足够大),又问当以多大的角速度旋转时,容器的底面会露出来?要使容器底面露出来,至少使c=0当时,容器的底面会露出来