复合函数及其求导法则.ppt

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1、1．了解复合函数的定义，并能写出简单函数的复合过程；2．掌握复合函数的求导方法，并运用求导方法求简单的复合函数的导数．本节重点：①导数公式和导数运算法则的应用．②复合函数的导数．本节难点：复合函数的求导方法．1．若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足的关系．在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．2．求复合函数的导数处理好以下环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数

2、的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝.即y对x的导数等于.复合函数及其求导法则x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积[分析

3、]抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．[解析](1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟练后可简化步骤如下：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x[点评]法则可简单叙述成：复合函数对

4、自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．[例3]某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的距离对时间的瞬时变化率是________km/h.[分析]瞬时变化率就是位移s对时间t的导数．[答案]－1.6[点评]导数在实际问题中有着广泛的应用，如物理学中，位移s对时间t的导数是表示时刻t处的瞬时速度，而速度对时间t的导数就是时刻t处的加速度．[答案]A[答案]C[答案]A[答案]－6