单位圆与三角函数线.ppt

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1、1.2.2单位圆与三角函数线◆教学目标(一)知识与技能目标1．有向线段的概念．2．用单位圆中的线段表示三角函数值．(二)过程与方法目标理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向来表示三角函数值．(三)情感态度与价值观目标根据三角函数的定义导出三角函数线，数形沟边，发展思维．◆教学重点、难点1．教学重点：怎样用三角函数线表示三角函数值？2．教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定？（一）复习三角函数的坐标法定义◆教学过程设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系，在角α的终前面我们学习了三角函数的坐标法定义，三角

2、函数在各象限内的符号，学习了任意角的三角函数。由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，1.单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y轴的交点分别为B(0，

3、1)，B’(0，－1).(二)单位圆、有向线段的概念2.有向线段的概念：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。如在数轴上，

4、OA

5、=3，

6、OB

7、=3=3=-3设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M；做PN垂直y轴于点N，则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.(三)用单位圆中的线段表示三角函数值根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)其中cosα=OM，sinα=ON.这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.以A为原点建立y

8、’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T’)，则tanα=AT(或AT’)我们把轴上的向量分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.角α的终边在四个象限的情况例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。(四)练习例2利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：在0～2π之间满足条件的角x的终边必须在图中阴影部分内（包括边界），即Π/3≤x≤2Π/3，故满足条件的角x的集合为﹛x▏2kk∈z﹜在0～2π之间满足条件的角x的终边应在图中阴影部分（不包括边界），即Π/2

9、Π/2cos1.5tan2

10、sinα

11、+

12、cosα

13、≥1.证明：在△OMP中，OP=1，OM=

14、cosα

15、,MP=ON=

16、sinα

17、，因为三角形两边之和大于第三边，所以

18、sinα

19、+

20、cosα

21、≥1。(五)小结1.给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。2.三角函数线的位置：正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段

22、；余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段3.特殊情况：①当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。②当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。◆作业利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：解答已知α∈(0，)，试证明sinα<α

23、ON

24、=

25、MP

26、,α=tanα=

27、AT

28、.又所以即sinα<α