2015年广西高二“创新杯”决赛试题-含答案-.pdf

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1、2015年广西“创新杯”数学竞赛高二决赛试卷一．选择题（每小题6分，共36分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）1．（南宁市教科所黎福庆供题）已知向量ab,夹角为45
，a=1且2a−b=10，则b=A．32B．6C．22D．2答案：A2π2．3.若方程sinxa+sinxa−−=10(≤≤xπ)有三个根，则a的取值范围为（）6答案：A解析：2令t=sinx则0≤t≤,1方程为t+at−a−1=0⇒(t−1)(t+a+)1=0⇒t=,1t=−a−112ππ即sinx=1或sinx=−a

2、−,1而sinx=1在[,π]上只有一根x=62π13故sinx=−a−1在[,π]上有两根⇒≤−a−1<1⇒−2

3、正方体棱长为a，则EF=a，OF=AB=a．144EF∴tan∠EOF==22．OFπ4．（广西师院赵继源供题）已知当x=时，函数y=sinxa+cosx取最大值，则函数6y=asinx−cosx图象的一条对称轴为ππππA．x=−B．x=C．x=−D．x=3366第1页共4页π132解析：选A.∵当x=时，函数y=sinxa+cosx取最大值，∴+a=a+1622ππ解得a=3，∴y=asinx−cosx=2sin(x−)，∴x=−是它的一条对称轴.635．（广西师院赵继源供题）已知函数fx()=elnx−x

4、在(0，e]上为增函数，在[e，+∞)上为eππe减函数，记a=e，b=π，c=e，d=π，则a，b，c，d的大小关系为A．a

5、洲供题）在2013，2014，2015，2016这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数共有A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A解析：一个整数能表示为两个整数平方差，等价于这个整数可以表示为两个奇偶性相同的整数的乘积．而201312013=×，2014=×21007，201512015=×，2016=×21008，故只有2014无法写成两个奇偶性相同的整数的乘积．选A．二．填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）22７．（南宁市教科所黎福庆供题）已知直线lx:−+

6、=y30被圆C(:x−a)+(y−)2=4截得的弦长为22，则a的值为．答案：1或-32a−+232解析：r=2，则圆心到弦的距离为2−(2)=2。所以=2。2即a+=12，故a的值为1或-3。1,x>0,28．（广西师院赵继源供题）设函数fx()=0,x=0,则方程xfx(−1)=−4的解−1,x<0,为．答案：x=−2第2页共4页x−>10,x−=10,x−<10,2解析:由xfx(−1)=−4，2，或2或2,解得x=−2．x×=−14x×=−04x×−(1)=−49．（柳铁一中

7、供题）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何的体积(8+π)3为．答案：6解析：由三视图知，该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为3。四棱锥的底面为边长是2的正方形，高为3，所以这个几何体的体积为1211(8+π)3V=××π1×3×+×××223=．323610．（广西师院赵继源供题）若abc,,是正整数，且成等比数列，ba−是一个完全平方数，loga+logb+logc=6，则a++bc=．666答案：11126解析：由题意，b=ac，log(ab

8、c)=6，所以，abc=6，622故b=6=36，ac=36．2于是，36−a是完全平方数，所以，a只能为11，20，27，32，35，而a是36的约数，故a=27，进而，c=48，所以a++bc=111.11．（南宁三中王强芳供题）正三棱锥D−ABC(顶点在底D面内的射影为底面的中心且底面是等边三角形的三棱锥)DA1FF的底面边长为4，侧棱长为8，过点A作与侧棱DBDC,CCEE都相