新人教A版必修1高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法学案 .doc

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第1课时　函数的表示法学习目标核心素养1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？[提示]　不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)x1≤x<2221，或x<－1)．[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.-7- (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.函数解析式的求法[探究问题]已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】　(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．思路点拨：(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)2x＋或－2x－8　(3)x－1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.]-7- 1．(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．[解]　设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.由2ax＋a＋b＝2x，得解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．(变条件)把本例(3)的题干改为“2f＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．[解]　f(x)＋2f＝x，令x＝，得f＋2f(x)＝.于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)＝－(x≠0)．求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，-7- 注意有的函数要注明定义域.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　)(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(　　)(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)A．f(x)＝3x－1　　　　B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x＋2D．f(x)＝3x＋4A　[令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________．4　3　[由题表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．[解]　(1)f(x)图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]．-7-