教师需要怎样的数学观.ppt

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1、1教师需要怎样的数学观华东师范大学李士錡2014.712数学观－对数学的基本看法与教学有关：教学目标教师角色教学方式教学重点教学活动数学过程23数学观－对数学的基本看法与教师的角色有关：命令者解释者推动者34数学是一种怎样的形式？例：教科书平面几何系统：公理公设定义定理－证明定理－证明……45数学是一种怎样的形式？例：数学论文命题（定理）定义引理－证明引理－证明……证明56一个令人吃惊的例子：证明“任何三角形都是等边三角形”677889101011对交点在哪里有疑问？1212131314疑点在哪里？1

2、415151616我们可以得到什么启示？数学是要有事先规定的，包括公理系统规定是在遇到实际困境时才设立的设立后再放到最前面去，成为起点欧氏几何的公理系统并不完备数学的表达形式，与产生过程的次序正好相反问题：数学，应该是按表达形式，还是按产生过程教？1718数学观－对数学的基本看法静态的数学观形式的、精确的、逻辑的科学一批孤立的法则、公式动态的数学观解题过程为主的科学应用于社会和生活1819教师中最常见的数学观：数学就是解题数学就是解题技巧的掌握和应用数学就是知道一大套法则公式，去解题数学是思考和解决问

3、题的方法和过程……有什么样的数学观，就会有什么样的教学法19对数学教育来说我们需要怎样的数学观？问题：数学结论如何形成？数学的严谨性如何建立？2021经验主义的数学哲学观2122Euler多面体公式及其证明V-E+F=2222323241.去掉一个面，铺平24252526只要证明:V-E+F=126272.对图形作三角形剖分27282829仍证明:V-E+F=13.简化图形:2930303131323.简化图形:1)去掉一条线,减少一个面,仍证明:V-E+F=132333334343535363637

4、3.简化图形:1)去掉一条线,少了一个面2)去掉两条线,一个点,少了一个面,仍应证明:V-E+F=13738383939404041观察结果:V-E+F=3-3+1=14142反驳:只有两种化简方法?424343444445454646474748484949505051515252535354再反驳:去掉一个面,就一定能铺平?5455N=45556多面体定义原定义:任何由平面围成的立体,或:由多边形面组成其表面的立体新定义:由一个多边形系统组成的曲面5657新的反驳5758N=35859N=3596

5、0必须考虑“连通性”!6061N=12-30+12=-6但又有反例:6162按新定义:由一个多边形系统组成的曲面,五角星算不算“多边形”？6263什么是多边形?多边形是这样的棱的系统:1)每个顶点恰有二棱相交2)除顶点外各棱没有公共点6364新的两重反例N=36465“多面体”“凸多面体”6566本质性的问题：必须考虑“凸性”!“多面体”“凸多面体”6667多面体的定义回归性地不断改进多面体定义连通性多边形定义凸性6768(“最后”)定理:所有带单连通面的准凸多面体,有:V-E+F=26869拉卡托斯

6、的思想:数学的发展，是依靠猜想、证明、批判、反驳，不断地改进结论和推理的过程数学是可错的，而不是一帆风顺发展，定理数量单调增长的证明（乃至数学）：是一个实验或准实验:思想实验数学的严格性:嵌入一套“熟悉的背景知识”6970数学的发展，是依靠猜想、证明、批判、反驳，不断地改进结论和推理的过程数学学习应看作为一个过程，而不只是一个结果。数学及其思维，在其内部发展的过程中需要猜想、证明、批判、反驳等等机制。教学仅展示正确的过程是不够的，也应暴露其中的曲折。7071数学是可错的，而不是一帆风顺发展、定理数量单

7、调增长的数学，不是一开始就是正确、精确、严谨的。在尝试、探究、前进的过程中，充满了错误，曲折，回旋7172证明（乃至数学）：是一个实验或准实验:思想实验数学学习、数学思维,就是一个反复尝试、探究的过程，不断修正、改进、完善的过程。例如，不仅要改进证明过程，也可能要改进原命题、原猜想。7273数学的严格性:嵌入一套“熟悉的背景知识”数学的严格性是相对的，特别是，应根据学生的水平和能力来决定例：判断函数f(x)=的单调性当x1

8、样？区别在哪里？严谨性抽象性广泛应用性7475认识：需要区分科学的数学与教育的数学—“数学的科学形态与数学的教育形态”例：平面几何中的“边边边公理”例：代数中的分式的定义7576认识：又要看到它们之间的联系例：数学归纳法背后的皮亚诺公理例：“任何三角形都是等边三角形”7677数学观－对数学的基本看法教学中反面的例子:数列问题：找规律写出第三个数：61，52，？，94，46，187778例：写出数列的下一行：1112112111112217879例