矩阵分析-(1).ppt

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1、2021/7/21难点:求线性映射的值域、核的基与维数2021/7/21首先,我们回忆一下《线性代数》中的向量.向量的运算及性质2021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/2

2、12021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/2

3、12021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/2

4、12021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/2

5、12021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/212021/7/21矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量定义设是数域上的线性空间的一个线性变换，如果对于数域中任一元素，中都存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。现在设是数域上的维线性空间，中取定一个基，设线性变换在这组基下的矩阵是，向量在这组基下的坐标是，。那么我们有2021/7/21由此可得定理：是的特征值是的特征值是的属于的特征向量是的属于的特征向量因此，只要将的全部特征值求出来，它们就是线性变换的全

6、部特征值；只要将矩阵的属于的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是的属于的全部特征向量。2021/7/21例1设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的一个基下的矩阵是求的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为2021/7/21所以的特征值是（二重）与。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：2021/7/21从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量是这里为数域中不全为零的数对。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：2021/7/21从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量这里为数

7、域中任意非零数。矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征2021/7/21值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵的属于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以组成的一个子空间，称之为矩阵的属于特征值的特征子空间，记为，不难看出正是特征方程组的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。2021/7/21（3）设是的个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大

8、于它的代数重数。2021/7/21（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相