矩阵分析PPT.ppt

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1、矩阵分析主讲教师：魏丰第三章内积空间，正规矩阵与H-阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：这里是中任意向量，为任意实数，只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。例1在中，对于规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个欧氏空间。如果规定容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间。例2在维线性空间中，规定容易验证这是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。例3在线性空间中，规定容易验证是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。定义

2、：设是复数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：这里是中任意向量，为任意复数，只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例1设是维复向量空间，任取规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个酉空间。例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义容易验证是上的一个内积，于是便成为一个酉空间。例3在维线性空间中，规定其中表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。内积空间的基本性质：欧氏空间

3、的性质：酉空间的性质：定义：设是维酉空间，为其一组基底，对于中的任意两个向量那么与的内积令称为基底的度量矩阵，而且定义：设，用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记则称为的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：定义：设,如果，那么称为Hermite矩阵；如果，那么称为反Hermite矩阵。例判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。（5）实对称矩阵（6）反实对称矩阵（7）欧氏空间的度量矩阵（8）酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义：设为酉（欧氏）空间，向量的长度定义为非负实数例在中求下列向量的长度解：根据上面的公式可知一般地，我们有:对于中的任意向量其长度为

4、这里表示复数的模。定理：向量长度具有如下性质当且仅当时，例1：在线性空间中，证明例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的，我们有定义：设为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为于是有定理：因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。标准正交基底与Schmidt正交化方法定义：设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量

5、组。例在中向量组与向量组都是标准正交向量组。定义：在维内积空间中，由个正交向量组成的基底称为正交基底；由个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是;向量组为标准正交向量组的充分必要条件是定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:设为维内积空间中的个线性无关的向量，利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组。第一步正交化容易验证是一个正交向量组。第二步单位

6、化显然是一个标准的正交向量组。例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化再单位化那么即为所求的标准正交向量组。例2求下面齐次线性方程组其解空间的一个标准正交基底。解：先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：即为其解空间的一个标准正交基底。酉变换与正交变换定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为例：是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵（5）设且，如果则是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：设，那么设，那么定理：设，是一

7、个酉矩阵的充分必要条件为的个列（或行）向量组是标准正交向量组。定义：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，如果对任意的都有则称是的一个酉变换。定理：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉变换；（3）将的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。注意：关于正交变换也有类似的刻划。幂等矩阵定义：设，如果满足则称是一个幂等矩阵。例是一个分块幂等矩阵。幂等矩阵的一些性质：设是幂等矩阵，那么有（1）都是幂等矩阵；（2）（3）（4）的充分必要条件是（5）定理：设是一个秩为的阶矩阵，那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存