矩阵分析(1).ppt

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1、问题：这几个子空间的基底与维数分别是什么？例5矩阵的特征子空间设为一个阶矩阵，为矩阵的一个特征值，那么矩阵的属于特征值的全部特征向量构成的集合也是或者的一个子空间子空间的交，和与直和设和是线性空间的两个子空间，我们称为这两个子空间的和，进一步，如果，那么称和为直和，并将其记为北京理工大学高数教研室维数公式设是一个有限维线性空间，对于的任意两个子空间和，我们有北京理工大学高数教研室关于子空间直和的几种等价刻划定理设是线性空间的两个子空间和的直和，那么下列叙述是等价的：（1）是直和（2）（3）设是的一组基，是的一组基，则，是的一组基北京理工大学高数教研室（4）的任意一个向

2、量，可以唯一地表示为，其中北京理工大学高数教研室第三节线性映射线性映射的定义线性变换线性函数线性映射的例子线性映射的矩阵表示设是的一组基，是的一组基。是一个线性映射，那么北京理工大学高数教研室于是有称其为线性映射在基与基下的矩阵表示。线性映射的坐标变换公式北京理工大学高数教研室线性映射与矩阵之间的一一对应关系线性映射在给定基下的矩阵表示是唯一的，反之，给定一个矩阵，那么存在唯一的一个线性映射，它在这两个基下的矩阵表示为。如何求一个线性映射在给定两个基下的矩阵表示？线性映射的矩阵表示求法。一个线性映射在不同基下对应的矩阵之间有何关系？怎样选择一对基，使得线性映射在这对基

3、下的矩阵表示尽可能简单？北京理工大学高数教研室定理设是一个线性映射，与是的两组基，由到的过渡矩阵为，与是的两组基，由到的过渡矩阵为，在基与基下的矩阵表示为，在基与基下的矩阵表示为，那么北京理工大学高数教研室第四节线性映射的值域与核值域设是线性空间到的线性映射，那么称是线性映射的值域，记其为。称为的秩。核北京理工大学高数教研室设是线性空间到的线性映射，那么称是线性映射的核子空间。称为的零度。秩与零度定理设是维线性空间到维线性空间的线性映射，那么北京理工大学高数教研室对于给定的线性映射及其矩阵表示，如何求线性映射的核与值域。例1.5.2Page28线性变换的矩阵表示设是线

4、性空间的线性变换，是的一组基，那么北京理工大学高数教研室我们称其为线性变换在基下的矩阵表示。进一步，任取，且北京理工大学高数教研室如果那么有北京理工大学高数教研室例设中线性变换将基变为基（1）求线性变换在基下的矩阵表示（2）求向量在基北京理工大学高数教研室下的坐标。（3）求向量在基下的坐标。对于有限维的线性空间，线性变换在不同基下的矩阵表示有什么关系？对于线性空间已知两组基，而且那么有北京理工大学高数教研室第五节线性变换的特征值与特征向量定义设是数域上的线性空间的一个线性变换，如果中存在一个非零向量使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。现在设是数

5、域上的维线性空间，中取定一个基，设线性变换在这组基下的矩阵表示为，向量在这组基下的坐标是，，那么我们有北京理工大学高数教研室由此可得定理：是的特征值是的特征值是的属于的特征向量是的属于的特征向量因此，只要将的全部特征值求出来，它们就是线性变换的全部特征值；只要将矩阵的属于的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是的属于的全部特征向量。北京理工大学高数教研室例1设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的一个基下的矩阵是求的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为北京理工大学高数教研室所以的特征值是（二重）与。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：北

6、京理工大学高数教研室从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量是这里为数域中不全为零的数对。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：北京理工大学高数教研室从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量这里为数域中任意非零数。第六节矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征北京理工大学高数教研室值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵的属于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以组成的一个子空间，称之为矩阵的属于特征值的特征子空间，记为，不

7、难看出正是特征方程组的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。北京理工大学高数教研室（3）设是的个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。北京理工大学高数教研室（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相似对角化定义数域上的维线性空间的一个线性变换称为可以对角化的，如果中存在一个基底，使得在这个基底下的矩阵为对角矩阵。我们在中取定一个基底，设线性变换在这个基下的矩阵为，那么可以得到下面的定理定理：可以对角化可以对角