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时间：2020-02-26
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1、§6.因子分解与多项式的根6.1根与一次因子6.2重根6.1根与一次因子在这一章的最后我们讨论一下，一个整环上的一元多项式环里的因子分解同多项式的根的关系。这一节的结果都是中学代数的习知定理的推广定义1的元叫做的多项式的一个根，假如例1.在上,求多项式的根定理1被除的余式,即:可以写出并且。证明因为的最高系数1是一个单位，依照Ⅳ，4，引理，用代入，得推论1是的一个根，当而且只当能被整除的时候。证明可以表达为……定理2的个不同的元都是的根，当而且只当能被整除的时候。证明若是能够被整除，显然都是的根。现在假定都是的根。由定理1，用代入，得但，又没有零因子，所以
2、是的根。因此这样下去，得到证完推论2若的次数是n，那么的里至少有n个根：6.2重根根据定理2，我们下关于重根我们有一个类似定理1的定理，不过在这里我们需要导数这一概念……定义2的元叫做的一个重根，假如能被整除，k是大于1的整数。定义3由多项式唯一决定的多项式叫做的导数。导数适合以下计算规则：定理3是的一个根.是重根，当且仅当能被整除的时候(或曰:a是的根)。证明假定是的重根，那么能够被整除。假定不是的重根，那么不能被整除。证完。例2.定理2中,条件“是的一个根”不可少.推论3假定是一个唯一分解环。的元是的一个重根的充分而且必要条件是：能整除和的最大公因子。
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