二重积分的概念与性质.ppt

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1、第一讲二重积分的概念与性质内容提要二重积分的概念与性质教学要求1.理解二重积分的意义与性质；2.掌握二重积分的概念与性质。平顶柱体体积=底面积×高曲顶为平顶.求曲顶柱体的体积V=？１．曲顶柱体的体积一、实例曲顶柱体:平面上的有界闭区域D为底，以侧面是以D的边界曲线为准线,母线平行轴的柱面所围成的图形.以连续曲面为顶，以连续曲面为顶，例如曲顶柱体体积V求法如下：（1）分割:分别以这些小区域的边界曲线为准线，DD(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值：,),(为高以iifhx(3)求近似和：（4）取极限：２．求平面薄片的质量将区域D任意分成若干个小区域，（如右图）求法步骤

2、如下：（1）分割：且表示该区域的面积。（2）求近似：（3）求和：将求得的n个小薄片质量相加，便得到整个薄片质量M的近似值：（4）求极限：将区域D无限细分，和式的极限就是薄片的质量抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的相同点，给予定义如下：二、二重积分的概念定义：如果当各小区域直径最大值此和式的极限存在，则称此极限值为函数面积微元积分变量积分区域被积函数积分和式二重积分中各种符号的称呼：由二重积分定义，可以得出：曲顶柱体的体积V平面薄片的质量M二重积分号对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分

3、是曲顶柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，如右图。故二重积分（在直角坐标系下）可写为D即面微积元为在二重积分的定义中，对区域D的划分是任意的，因此，可对区域D进行特殊划分，这样面积微元可以记作，如图三、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）常数可以提到积分号之外。性质３(对区域具有可加性)性质４（如图1）图1图2性质５若在D上则有性质６（二重积分估值不等式）特殊地所以性质７（二重积分中值定理）性质７的几何意义是：解故解练习解故1.二重积分的定义3.二重积分的性质（7个性质）2.二重积分的几何意义（曲顶

4、柱体的体积）（和式的极限）小结曲顶柱体体积曲顶柱体体积相反数