2018高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程3 圆与圆的位置关系学案 苏教版必修2.doc

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1、圆与圆的位置关系一、考点突破知识点课标要求题型说明圆与圆的位置关系1.能根据两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能根据两圆的位置关系求有关直线或圆的方程选择题填空题解答题在学习过程中理解解析法在处理圆与圆位置关系问题中的优越性，强化学生用坐标法解决几何问题的意识二、重难点提示重点：掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系的方法；能用圆的方程解决一些简单的实际问题。难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决圆与圆的相关问题。考点一：圆与圆的位置关系及判断方法1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切

2、、内含。2.圆与圆的位置关系的判定（1）几何法：若两圆的半径分别为r1、r2（r1≠r2），两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：外离外切相交内切内含d>r1＋r2d＝r1＋r2

3、r1－r2

4、

5、r1－r2

6、d<

7、r1－r2

8、（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断。考点二：两圆的公切线两圆的公切线条数是判断两圆位置关系的重要性质，有关两圆的公切线，有如下结论：1.两圆外离时，有四条公切线，外公切线的交点与内公切线的交点在两圆心所在直线上；2.两圆外切时，有三条公切线，两圆圆心的连

9、线经过切点；3.两圆相交时，有两条公切线，两圆圆心的连线垂直平分公共弦；4.两圆内切时，有一条公切线，切点在两圆圆心所在直线上；35.两圆内含时，无公切线。考点三：圆系方程1.具有某一共同性质的所有圆的集合叫作圆系，它的方程叫作圆系方程。2.常见的圆系方程①同心圆系：与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋A＝0；②过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0；③过两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y

10、2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1），此圆系内不含x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，当λ＝－1时，表示两圆公共弦所在的直线方程。【规律总结】两圆相交公共弦长的求法：①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点距离公式求弦长。②几何法：求出公共弦所在直线的方程（即把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程），利用圆的半径、半径长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长。【特别提示】①求公共弦长时

11、，几何法比代数法简单且易求；②两圆的公共弦被两圆圆心连线垂直平分。例题1（两圆位置关系的判定）a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0（1）外切；（2）相交；（3）相离。思路分析：两圆的圆心和半径→圆心距

12、C1C2

13、→r1＋r2与

14、r1－r2

15、→两圆的位置关系。答案：将两圆方程写成标准方程（x－a）2＋（y＋2）2＝9，（x＋1）2＋（y－a）2＝4。设两圆的圆心距为d，则d2＝（a＋1）2＋（－2－a）2＝2a2＋6a＋5。（1）当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外

16、切，此时a＝－5或2。（2）当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2。（3）当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，此时a＞2或a＜－5。技巧点拨：和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方程组计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便。故求解此类问题的关键是利用圆心距与半径和或差的关系列出关系式。例题2（两圆公切线的求法）已知圆：和圆：，求、的公切线方程。思路分析

17、：根据题意判断两圆外离，利用待定系数法列方程解得。答案：，；，。则。所以两圆外离，有四条公切线。设切线方程为，即，则3，两式相除得，化简得或当时，代入得，解得或则时，；时，此时切线方程为或。当时，代入得，解得。此时切线方程为。当斜率不存在时，直线与两圆也相切。综上所述，所求公切线方程为或或或。技巧点拨：先判断两圆位置关系，从而判断公切线条数，这样不易丢解。除此，还需要注意斜率不存在的情况。圆系方程的应用【满分训练】求过直线2x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程。思路分析：本题求面积最小的圆

18、即求以两交点之间的距离为直径的圆，可由过圆与直线交点的圆系方程求解。答案：设过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0与直线2x＋y＋4＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0，整理得x2＋y2＋2（1＋λ）x－（4－λ）y＋1＋4λ＝0