2018高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程2 直线与圆的位置关系学案 苏教版必修2

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1、圆与圆的位置关系一、考点突破知识点课标要求题型说明直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法；2.能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系，解有关弦长的问题；3.理解一元二次方程根的判定及根与系数关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题选择题填空题本节课的核心是“如何用‘数’的关系来判断直线与圆的位置关系”，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。为此，可类比直线与直线的交点坐标的求法，让学生认识到用解析法解决平面几何问题的优越性；同时渗透了“数形结合”的思

2、想方法二、重难点提示重点：掌握用几何法和解析法判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的方程解决一些简单的实际问题。难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。考点一：直线与圆的位置关系及判断方法直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）的位置关系及判断方法。位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形考点二：直线与圆相交时弦长的求法设直

3、线与圆C交于两点，设弦心距为，圆半径为，弦长为，则有，即。考点三：直线与圆相切时切线的求法1.求斜率为（为常数）的切线方程设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求。2.求过一点的圆的切线方程首先判断这点与圆的位置关系，看点在圆外还是圆上。①若点在圆上，则连接圆心和该点的直线与切线垂直，利用垂直关系确定切线的斜率，从而确定切线方程；若切线的斜率不存在，其切线方程也确定了。②若点在圆外，求切线时常用以下方法：A.设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率；B.设切线斜率，利用圆心到直线的

4、距离等于半径求斜率；C.设切点坐标，则利用切线方程来求解。例题1（直线与圆位置关系的判断）如图所示，已知直线l：y＝kx＋5与圆C：（x－1）2＋y2＝1。（1）当k为何值时，直线l与圆C相交？（2）当k为何值时，直线l与圆C相切？（3）当k为何值时，直线l与圆C相离？思路分析：思路一：联立l及C的方程一元二次方程直线与圆的关系；思路二：求圆心到直线l的距离d―→比较d与半径1的大小下结论。答案：方法一　由，消去y，得（x－1）2＋（kx＋5）2＝1，即（k2＋1）x2＋（10k－2）x＋25＝0，则Δ

5、＝（10k－2）2－4×25（k2＋1）＝－96－40k。（1）当Δ>0，即k<－时，直线l与圆C相交。（2）当Δ＝0，即k＝－时，直线l与圆C相切。（3）当Δ<0，即k>－时，直线l与圆C相离。方法二　圆C的圆心C（1，0），半径r＝1，由点到直线的距离公式得圆心C到直线l的距离d＝。（1）当<1，即k<－时，直线l与圆C相交。（2）当＝1，即k＝－时，直线l与圆C相切。（3）当>1，即k>－时，直线l与圆C相离。技巧点拨：直线与圆位置关系判断的三种方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的

6、大小关系判断。（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断。（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系。例题2（直线与圆的相交弦问题）求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长。思路分析：方程组→解出交点坐标→两点间距离即弦长或方程组→得x1＋x2与x1·x2→弦长公式求弦长或圆心到直线的距离→构造直角三角形求弦长。答案：方法一　由，得交点A（1，3），B（2，0），∴弦AB的长为AB＝＝。方法二　由消去

7、y得x2－3x＋2＝0。设两交点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2。∴

8、AB

9、＝＝＝＝＝＝，即弦AB的长为。方法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋（y－1）2＝5，其圆心坐标（0，1），半径r＝，点（0，1）到直线l的距离为d＝＝，所以半弦长为＝＝＝，所以弦长AB＝。技巧点拨：对于弦长问题，常利用第三种方法，即利用半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，通过数形结合，利用勾股定理来求解。　忽略直线斜率不存在的情况致误例题已知圆

10、M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，直线a过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且AB＝2，求直线a的方程。【错解】设直线a的方程为y－3＝k（x－2），即kx－y＋3－2k＝0。如图所示，作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC＝，MB＝2，MC＝＝1，由点到直线的距离公式得点M（1，1）到直线a的距离为＝1，解得k＝，所以直线a的方程为3x－4y＋6＝0。【错因分析】错解忽略了直线a的斜率不存在的情况。【防范措施】点斜式方程并不能