参数方程化普通方程.doc

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1、参数方程化普通方程　　[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。　　[例题分析]　　1．把参数方程化为普通方程(1)　(θ∈R，θ为参数)　　解:∵y=2+1-2sin2θ,把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,　　又∵

2、sinθ

3、≤1,

4、cos2θ

5、≤1,∴

6、x

7、≤1,1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3　(-1≤x≤1,1≤y≤3)　　(2)　(θ∈R，θ为参数）　　解:∵x2=(sinθ+

8、cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。　　又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)　　y=sinθcosθ=sin2θ　　∴

9、x

10、≤，

11、y

12、≤。∴所求方程为x2=1+2y(

13、x

14、≤,

15、y

16、≤)　　小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。　　(3)　(t≠1,t为参数)　　法一:注意到两式中分子分

17、母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。　　x+y==1,　又x=-1≠-1，y=≠2,　　∴所求方程为x+y=1(x≠-1,y≠2)。　　法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=,∴x+xt=1-t,　　∴(x+1)t=1-x，即t=　代入　y==1-x，∴x+y=1，（其余略）　　这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。　　(4)(t为参数)19　　分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变

18、，可用两种求值域的方法:　　法一:x=-1,∵t2≥0,t2+1≥1,∴0<≤1,∴-1<-1≤1,∴-1

19、y

20、=≤=1，从而

21、y

22、≤1。　　法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，x2+y2=()2+()2===1。　　法二:关键能不能用x,y表示t，且形式简单　由x

23、=得t2=，代入y==t(1+x)　∴t=　再代入x=，化简得x2+y2=1。　　法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象　　可令t=tgθ，θ∈(-)，∴x==cos2θ,　y==sin2θ,　　∴x2+y2=1，又2θ∈(-,)，∴-1

24、(1)得t=代入(2)19　　y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5)　　为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。　　2）由已知　∴=1，　　表示中心在(3t+1,-6t2-5)的椭圆，其中a=5,b=4,c=3，∴e=。　　分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。　　3．抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，

25、M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。　　解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)　　∴k2x2-4px-4p2=0,若A，B坐标为(x1,y1),(x2,y2)则　　∴xM=,yM=,　　∵AB⊥CD,∴CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)，∴x2-4px-4p2=0，设C(x3,y3),D(x4,y4)　　　∴N(2pk2,-2pk)则G点坐标(x,y)为　　y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)　x=p(k2+)≥p·2=2p

26、，而y∈R在方程中都已体现，　　∴轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。　　说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程θ∈[0,π]，是个圆，但消参之后得x2+y2=1(

27、x

28、≤1,

29、y

30、≤1)却无法说明这一点。在线测试窗体顶端19　　选择题　　1．曲线的参数方