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1、参数方程化普通方程 [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 [例题分析] 1．把参数方程化为普通方程(1) (θ∈R，θ为参数) 解:∵y=2+1-2sin2θ,把sinθ=x代入，∴y=3-2x2, 又∵
2、sinθ
3、≤1,
4、cos2θ
5、≤1,∴
6、x
7、≤1,1≤y≤3, ∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1,1≤y≤3) (2) (θ∈R，θ为参数） 解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x
8、2=1+2y。 又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+) y=sinθcosθ=sin2θ ∴
9、x
10、≤，
11、y
12、≤。∴所求方程为x2=1+2y(
13、x
14、≤,
15、y
16、≤) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3) (t≠1,t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y==1, 又x=-1≠-1，y=≠2, ∴所求方程为x+y=1(x≠-1,y≠2)。 法二
17、:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=,∴x+xt=1-t, ∴(x+1)t=1-x，即t= 代入 y==1-x，∴x+y=1，（其余略） 这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。12 (4)(t为参数) 分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法: 法一:x=-1,∵t2≥0,t2+1≥1,∴0<≤1,∴-1<-1≤1,∴-118、上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。 由x=得x2=≥0,∴-119、y
20、=≤=1，从而
21、y
22、≤1。 法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参， x2+y2=()2+()2===1。 法二:关键能不能用x,y表示t，且形式简单 由x=得t2=，代入y==t(1+x) ∴t= 再代入x=，化简得x2+y2=1。 法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象 可令t=tgθ，θ∈(-)，∴x==cos2θ, y==sin2θ, ∴x2+y2=1，又2θ∈(-,)，∴-123、求方程为x2+y2=1(x≠-1)。12 2．已知圆锥曲线方程是 1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。 2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。 解:1）由已知， 由(1)得t=代入(2) y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5) 为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。 2）由已知 ∴=1， 表示中心在(3t+1,-6t2-5)的椭圆，其中a=5,b=4,c=3，∴e=。 分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同
24、。从而给出参数方程一般应指明所取参数。 3．抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。 解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p) ∴k2x2-4px-4p2=0,若A，B坐标为(x1,y1),(x2,y2)则 ∴xM=,yM=, ∵AB⊥CD,∴CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)， ∴x2-4px-4p2=0，设C(x3,y3),D(x4,y4)12 ∴N(2pk2,-2pk)则G点坐标(x,y)为 y2=p
25、2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p) x=p(k2+)≥p·2=2p，而y∈R在方程中都已体现， ∴轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。 说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程θ∈[0,π]，是个圆，但消参之后得x2+y2=1(
26、x
27、≤1,
28、y
29、≤1)却无法说明这一点。在线测试窗体顶端 选择题
