参数方程化普通方程

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1、参数方程化普通方程  [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法,理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性;应明确新旧知识之间的联系,提高综合运用所学知识解决数学问题能力。  [例题分析]  1.把参数方程化为普通方程(1) (θ∈R,θ为参数)  解:∵y=2+1-2sin2θ,把sinθ=x代入,∴y=3-2x2,  又∵

2、sinθ

3、≤1,

4、cos2θ

5、≤1,∴

6、x

7、≤1,1≤y≤3,  ∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1,1≤y≤3)  (2) (θ∈R,θ为参数)  解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,把y=sinθcosθ代入,∴x

8、2=1+2y。  又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)  y=sinθcosθ=sin2θ  ∴

9、x

10、≤,

11、y

12、≤。∴所求方程为x2=1+2y(

13、x

14、≤,

15、y

16、≤)  小结:上述两个例子可以发现,都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出x,y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法。  (3) (t≠1,t为参数)  法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法。  x+y==1, 又x=-1≠-1,y=≠2,  ∴所求方程为x+y=1(x≠-1,y≠2)。  法二

17、:其实只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可。由x=,∴x+xt=1-t,  ∴(x+1)t=1-x,即t= 代入 y==1-x,∴x+y=1,(其余略)  这种方法称为代入消参,这是非常重要的消参方法,其它不少方法都可以看到代入消参的思想。12  (4)(t为参数)  分析:此题是上题的变式,仅仅是把t换成t2而已,因而消参方法依旧,但带来的变化是范围的改变,可用两种求值域的方法:  法一:x=-1,∵t2≥0,t2+1≥1,∴0<≤1,∴-1<-1≤1,∴-1

18、上述各种方法进行消参,首先,求x,y范围。  由x=得x2=≥0,∴-1

19、y

20、=≤=1,从而

21、y

22、≤1。  法一:注意到分子,分母的结构,采用平方消参,  x2+y2=()2+()2===1。  法二:关键能不能用x,y表示t,且形式简单  由x=得t2=,代入y==t(1+x) ∴t= 再代入x=,化简得x2+y2=1。  法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象  可令t=tgθ,θ∈(-),∴x==cos2θ, y==sin2θ,  ∴x2+y2=1,又2θ∈(-,),∴-1

23、求方程为x2+y2=1(x≠-1)。12  2.已知圆锥曲线方程是  1)若t为参数,φ为常数,求它的普通方程,并求出焦点到准线的距离。  2)若φ为参数,t为常数,求它的普通方程,并求它的离心率e。  解:1)由已知, 由(1)得t=代入(2)  y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5)  为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线,其焦点到准线距离p=。  2)由已知 ∴=1,  表示中心在(3t+1,-6t2-5)的椭圆,其中a=5,b=4,c=3,∴e=。  分析:从上题可以看出,所指定参数不同,方程所表示的曲线也各不相同

24、。从而给出参数方程一般应指明所取参数。  3.抛物线y2=4p(x+p)(p>0),过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB,CD,M为AB中点,N为CD中点,G为MN中点。求G点轨迹方程,并说明其图形。  解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)  ∴k2x2-4px-4p2=0,若A,B坐标为(x1,y1),(x2,y2)则  ∴xM=,yM=,  ∵AB⊥CD,∴CD方程为y=-x,代入y2=4p(x+p),  ∴x2-4px-4p2=0,设C(x3,y3),D(x4,y4)12    ∴N(2pk2,-2pk)则G点坐标(x,y)为  y2=p

25、2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)  x=p(k2+)≥p·2=2p,而y∈R在方程中都已体现,  ∴轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。  说明:消参一般应分别给出x,y的范围,而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况,消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹,这时应用语言作补充说明。如方程θ∈[0,π],是个圆,但消参之后得x2+y2=1(

26、x

27、≤1,

28、y

29、≤1)却无法说明这一点。在线测试窗体顶端  选择题

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