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1、第二章线性方程组求解线性定常迭代法及其收敛性雅克比迭代法高斯-赛德尔迭代法超松弛迭代法共轭梯度法1误差分析解线性方程组的计算结果不准确的原因：（1）计算方法不合理；（2）线性方程组本身存在问题。例2.3线性方程组的解是而方程组的解右端项微小的误差（<0.5×10-5），解完全不同。2误差分析定义2.4如果矩阵或常数项的微小变化，引起方程组Ax=b解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，系数矩阵称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程组，系数矩阵为“良态”矩阵。3研究方程组的系数矩阵A和右端向量b的微小误差（扰动）对解的影响。设
2、
3、.
4、
5、为任何一种向量范数，矩阵范数是
6、从属范数。误差分析设A非奇异，有微小扰动δA，b有微小扰动δb，则Ax=b的扰动方程为为了估计δx，对上式两端取范数，则有由Ax=b可得：由于A非奇异，所以存在A-1，4误差分析5误差分析定理2.1：设A是非奇异阵，。若系数矩阵A及右端项b分别有微小误差δA及δb，引起解x的误差δx，当
7、
8、A-1
9、
10、
11、
12、δA
13、
14、<1时，它们的相对误差间有如下关系6推论1若,则误差分析7推论2若
15、
16、δb
17、
18、=0，且
19、
20、δA
21、
22、充分小,则给出了解的相对误差上界。刻划了线性方程组的解对初始数据误差的敏感度（对误差的放大倍数）此数越大，很小的扰动δA或δb，可能使解的相对误差很大，从而大大破坏了解
23、的准确性是方程组本身的固有属性，与求解方程组的方法无关用来表示方程组的性态误差分析定义2.5设A是非奇异阵，称数
24、
25、A
26、
27、
28、
29、A-1
30、
31、为A的条件数，用cond(A)表示，即cond(A)=
32、
33、A
34、
35、
36、
37、A-1
38、
39、通常使用的条件数有1）cond(A)∞=
40、
41、A
42、
43、∞
44、
45、A-1
46、
47、∞。2）谱条件数条件数不小于1；当它接近于1时，矩阵称为良态；当条件数远大于1时，矩阵是病态的。8误差分析例2.4计算线性方程组系数矩阵的条件数。解:系数矩阵为其逆矩阵为于是cond(A)∞=
48、
49、A
50、
51、∞
52、
53、A-1
54、
55、∞=(2+10-5)(2×105+1)>4×105>>19误差分析病态方程组的求解
56、准则：1）采用高精度的算术运算（如双倍字长），以改善和减轻病态矩阵的影响；2）系数矩阵元素的数量级相差悬殊时，用直接法计算时，即使采用主元素消去法，求解过程中有效数字也会严重损失。可以对方程组的系数矩阵进行预处理来降低条件数。比如，可适当选择非奇异对角阵C,D,使求解Ax=b的问题转化为求解等价方程组10第二章线性方程组求解线性定常迭代法及其收敛性雅克比迭代法高斯-赛德尔迭代法超松弛迭代法共轭梯度法11迭代法1.特别适合求解大型矩阵的方程组2.基本思想：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则迭代法的一般格式12称为多步迭代法称为单步迭代法。再设是
57、线性的，即式中，称为单步线性迭代法迭代法称为迭代矩阵。若、fk与k无关，即输入：x(0),B,f;输出：x.x=x(0);while不满足收敛条件x=Bx+f;end13称为单步线性定常迭代法,或一阶线性定常迭代法算法：一阶定常迭代法迭代法定义2.6设x(0),x(1),x(2),…是Rn中一向量序列{x(k)}，x∈Rn是一个常向量。如果则称向量序列收敛于x，记为14定理2.2Rn中的向量序列{x(k)}收敛于Rn中的向量x,当且仅当其中x(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T，x=(x1,x2,…,xn)T迭代法证由定义2.6，{x(k)}收敛于x，即而对
58、任意，有15由极限存在准则得即迭代法成立，其中x*为一确定的向量，它不依赖于x(0)的选取，则称迭代法是收敛的，否则称迭代法发散。1.构造迭代格式3.求出迭代序列迭代解法基本步骤:2.代入初始向量定义2.7如果对任意的初始向量x(0)及f，迭代法得到的向量序列{x(k)}都有16迭代法同解方程组:x=Bx+f迭代格式:x(k+1)=Bx(k)+f初始解x(0)线性方程组Ax=b解向量序列{x(k)}B——迭代矩阵{x(k)}——迭代序列17迭代法18迭代格式:x(k+1)=Bx(k)+f是否收敛？如果收敛，其收敛速度如何？设准确解为x*，则它满足方程x*=Bx*+f近似解的
59、误差e(k)为e(k)=x(k)-x*e(k+1)=x(k+1)-x*=Bx(k)+f-Bx*+f=Be(k),(k=0,1,…)递推有e(k)=Bke(0)要保证迭代收敛，也就是要求通常e(0)≠0，所以必须要求迭代法的收敛性定理2.3设B∈Rn×n，则（零矩阵）的充分必要条件是矩阵B的谱半径。（此定理的严格证明，需使用矩阵的若当标准型）下面仅考虑矩阵B可对角化的简化情况：设B=XΛX-1其中Λ是B的特征值组成的对角阵则Bk=XΛkX-1Λ的所有对角元小于119迭代法的收敛性定理2.4设I-B为非奇异矩阵，对任意
