“实验,猜想,反思”.doc

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1、“实验，猜想，反思”——谈椭圆的足义教学实践象山屮学315700张宗余数学教育如何适应索质教育特别是创新教育的要求？如何充分发挥学生学习数学的积极性与主动性？如何更新观念，有利于学生数学创新意识的培养？一直是围绕屮学数学教师教学的主旋律，而课堂教学是实施创新教冇的主渠道，笔者根据H身的教学实践，设计椭圆的定义的教学。实验欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验。”数学实验不仅帮助学生理解和巩固数学知识的一种有效方法，而且在实验过程屮，将课木知识与眼前实际结合起来，将以实验屮获得的感性认识，通过抽彖思

2、维得到对概念、模熨、定理的深入理解，促成教学的良性循环，在椭圆的定义教学屮，笔者设计了两个实验。实验一：用勢卜制作出若干小圆锥，准备一把刀，让学生任意截得平面图形，将抽象繁杂的立体图形，有了“肓观”的背景呈现，帮助学生抓住其木质，了解圆锥曲线的田来、变形、发展及其它问题的联系。实验二：用一根细绳了，将两端点重合并固定于黑板上一点，将粉笔套在其屮并拉紧，在黑板上画一个圆，并复习圆的定义，再将两端点分开固定在黑板上，简单演示一下。然后，让学生改变线段的长度，多画几个图形，当学生将引操作进行至极限（将线拉紧）时发

3、现曲出的是一条线段，这一过程能够使学生独立地发现和完善椭圆的定义。同时，「与c的大小关系，对椭圆扁圆程度的影响在此也能得到渗透，对麻续的“椭圆性质”的学习很有帮助。猜想伟大的科学家牛顿以白身的经历告诫我们：“没有大胆-的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想是创新的萌芽，它不仅是一种重要的思想，更是解决问题的一种重要方法，猜想对于发展学生的创造性思维有着无法佔量的作川。教学中，不论是概念的产生，公理、公式的发现，规律的探索，解决问题的方法与途径的选择，处处可以先引导学生去猜想，无论学生能否猜出，还是猜想是否正确，

4、部丝毫不影响猜想的价值，在教学过程中设计两大猜想作为问题的起始，引导学生解决。猜想1：椭圆的一种定义是什么？根据实验过程与结果，引导学生抓住作图的关键（点与距离），鼓励用H己的语言概括定义。猜想2：给出椭圆定义后，椭圆标准方程的给出便事在必行，笔者大腹让学生猜想，学生可能一时不知所措。笔者从引导学生联系圆的标准方程。以比较恻与椭恻的图形特征。将类比猜想椭圆的标准方程圆的标准方稈变形为门+厂

5、发现此式屮「与坐标轴父点有关,儿>为—+—=1,此时，"、b分别表示在坐标轴上交点。a2b2通过实例使学生初步掌握常见

6、的猜想方法，归纳猜想、类比猜想，让学生逐步产生强烈的猜想欲望，提高猜想能力，培养学生的创造性思维，正如数学教育家波利亚所呼吁得：“让我们教猜想吧！”反思反思在当代认知心理学屮属于认知范畴，它是指对白身的思维过稈、思维结果进行再认知和检验的过稈，反思性学习是一种有效的学习方式，它的基木特征是探究性，即在考究学习活动的经历屮探究其屮的问题和答案，重构白己的理解，激活个人的智慧，并在活动中所涉及的各个方面的相互作用下，产生超越己有信息Z外的信息，从而帮助学生学会学习，使他们的学习活动成一种有目标、有策略的主动行为

7、，不断问题，发现有意的新知识、新方法，在椭圆的标准方程推导过程屮，从学生角度出发，抓住学生容易忽视的重要坏节，环环相扣深入研究，引导学生进行反思。一、反思过程提高知识理解层次的深度与广度，理清各知识的“交汇点”，充分揭示它们的逻辑联系，舍弃其木质的差异，最后形成简单明晰的“知识链”，在椭圆的标准方程兀2y2推导过程屮，尤其推出标准方程一+——=1类比頁线的截距式-+^=1挖掘基木量3、a2b2abb、c的关系，理解其几何意义，进而引申椭圆的点斜式。二、反思证明过程中不同的思维层次，总结不同层次思维的规律，通

8、过建系的不同，渗透分类讨论思想，通过基木量a、b、c的关系，渗透坐标法，通过式子的等价变式，挖掘其几何意义，渗透解析几何的“以式论形”的思想。注:椭圆标准方程的推导过程：集合P={MIIMF}+MF2=2a}得方程J(x+c)2+y2+J(x_c)2+y2=2a(1)移项两边平方得a2-cx=a^(x-c)2+y2(2)两边再平方(a?-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(3)兀2y2设a2-c2=b2整理得一+—=1(a>b>0)(4)a2h2反思1:式(1)直接两边平方、整理：J(x+C)2

9、+・J(兀+c)2+y2+兀2+=/+“2心)表示

10、MF】I・IMF2I+IOPI2二常数反思2:(1)式进行分母有理化。变形为4cxJ(x+c)2+y2-J(x-c)2+y2=2沁除过去，得料（*+「*卄唱⑺它可理解为出二常数它的儿何意义是点P到R.F?垂直平分线的距离与那到两IIMF,l-IA/F2II定点的距离Z差的绝对值Z比为常数。反思3:在式（2）的变形屮，得出椭圆的第二定义JU*=£./aI——xIC