《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案.doc

《《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、试卷一:得分一、单项选择题(3分X5二15分))(B)lim=cuAk;n—>ao//=!k=n1、1、下列各式正确的是(CO0C(A)limAn=uc4;“Ts/r=lk=ncos(C)limA=nuA•畀一>oon=lk=n80C(D)limA=nnA.;ns/r=lk=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是((A)P=c(B)mP=0(C)P=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设｛/„«｝是E上的必.有限的可测函

2、数列，则下而不成立的是()(A)若/Jx)=>/(x),则/n(x)^/(x)(B)sup{/；(%)}是可测函数n(C)inf{/„(x)}是可测函数；(D)若//X)=>/(%),则/⑴可测5、设f(x)是山,切上有界变差函数，则下而不成立的是()(A)/(%)在［ayh］上有界(B)/(x)在［a,b］上儿乎处处存在导数rb(C)八兀)在［。上］上L可积(D)Ifx)dx=f(b)-f(a)Ja二填空题(3分X5二15分)1、(CAuCsB)n(A-(A-B))=o2、设E是［0,1］±有理点全体，则£=,£=、E=.3、设E是川中点

3、集，如果对任一点集T都有，则称E是厶可测的4、/⑴可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必耍”，“充耍”)5、设/(x)为［d,b］上的有限函数，如果对T'［a,b］的一切分划，使,则称/(x)为［a,列上的有界变差函数。得分三、下列命题是否成立?若成立，则证明之;若不成立，则举反例说明.(5分X4=20分)1、设EuR',若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE=0,则E—定是可数集.3、若l/(x)l是可测函数，则/(兀)必是可测函数。4.设/(Q在可测集E上可积分，若VxeE,/(x)>0,则£/(%)>()

4、四、解答题（8分X2=16分）.（8分）设/（x）=心为无理数1,兀为有理数，则.f⑴在［0,1］上是否可积，是否厶-可积，若可积，求出积分值。2、（8分）求limHIn（兀+“）€"vcosxdx得分五、证明题（6分X4+10二34分）.1、（6分）证明［0,1］±的全体无理数作成的集其势为c.2、（6分）设/⑴是（-o,4-o）上的实值连续函数，则对于任意常数a.E={xf（x）＞a］是闭集。3、（6分）在[a,h]±的任一有界变差函数门兀）都可以表示为两个增函数Z差。4、(6分)设mEn)

5、9贝0mn-men=0.5、（10分）设/（兀）是E±a.e.有限的函数，若对任意5〉0,存在闭子集uE,使/（兀）在你上连续，且加（E-代）C,证明:/•⑴是E上的可测函数。（鲁津定理的逆定理）试卷-答案:试卷一（参考答案及评分标准）一、1.C2D3.B4.A5.D二、1.02、［0丹0；［0,1］3、mT=m（TnE）+m（TnCE）4、充要5、］£

6、/*（兀）-/*（兀1）

7、成一有界数集。三、1・错误2分例如:设E是［0,1］±有理点全体，则E和CE都在［0,1］中稠密5分2•错误2分例如：设E是Cantor集，则mE=0,但E=c

8、,故其为不可数集5分3•错误2分{XxE*-x.xe［a.b-E;则l/（x）l是［⑦对上的可测函数，但/（%）不是［a.b］上的可测函数5分4•错误2分加£=0时，对E上任意的实函数/（劝都有j/（xXx=0...5分E四、1・/（兀）在［0,1］±不是/?-可积的，因为/（兀）仅在无=1处连续，即不连续点为正测度集3分因为“0是有界可测函数，/⑴在［0,1］上是L-可积的…6分因为f（兀）与x2a.e.^等，进一步，［f（x）dx=jx2dx=-...8分2.解：设⑴=皿入+"）厂COS兀,则易知当77TOO时，/；O）T0n2分<0,

9、（r>3）,所以当川3,兀no时,ln(x+A?)/?+xln(x+n),n+xln3,ln3八、=<<—(l+x)nnx+nn334分从而使得I九⑴l

10、6分2.VxgE则存在中的互异点列傲“},limxzf=x2分/I-KO•••兀”g£,./(xJ>6/3分•・•/(兀)在点连续，.・.f(x)=limf(x