07不定积分换元法.ppt

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1、换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法说明结果正确将上例的解法一般化：如果复合而成将上述作法总结成定理，使之合法化，可得——换元法积分公式第一类换元公式（凑微分法）说

2、明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解一般地例4解例5求解例6求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例7求解说明当被积函数是三角函数相乘时，如果是偶次项，需要进行降阶处理。例8解注意：分子拆项是常用的技巧例9求解例10求解或例11求解例12求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法则有换元公式定理2例1

3、4求解令例15求解令例16求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.含有简单根式，就把整个根式代换。例17求（三角代换很繁琐）解令例18求解令说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换例19求解令例20求解令（分母的阶较高）说明(4)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例21求解令三、小结两类积分换元法：（一）凑

4、微分（二）三角代换、倒代换、根式代换作业P110/四3（6）（7）（11）（12）4（3）（12）（17）（19）(22)(23)5(1)(7)(11)(13)