不定积分换元法积分技巧.ppt

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1、第二节不定积分的换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、基本积分表⑵问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1求解（一）解（二）解（三）例2(1)求解例2(2)求解一般地例3求解例4(1)求解例4(2)求解例5求解例6求解同理可得（使用了三角函数恒等变形）例7求解例8(1)求解例8(2)求解例8(3)求解例8(4)求解求由例8可知:例9求解例10(1)求(2)求例10(1)求解(2)求解例11(1)求(2)求(3)求

2、(4)求例11(1)求解例11(2)求解例11(3)求解(4)求解例12求原式解例13求解例14(1)求解例14(2)求解例15(1)求解例15(1)求(2)求解例15(1)求(2)求解(3)求例16求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例17求解例18求解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）类似地可推出例19求解例20求解（使用了三角函数恒等变形）例21(1)求解例21(2)求解例22求解例求解例求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法证设为的原函数,令则即有换元公式:定理2第二类积分换元公式例1求解令例2

3、求解令例3求解令例4求解令例5求解令再令例6求解令再令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例7求（三角代换很繁琐）令解例8求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例9求令解例10求解令（分母的阶较高）说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例11求解令三、基本积分表⑵四、小结两类

4、积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.思考题求积分思考题解答练习题练习题答案