高级数理逻辑第5讲.doc

《高级数理逻辑第5讲.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、4.5一阶谓词语义系统4.5.1什么是形式系统语义抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子：如果我们要知道的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情：1、x在什么范围之内，x范围是实数。2、f是什么？(X+1)3、P是什么？P代表的是大于＝04、a=？a=15、x=?，x＝5，－4例如，我们可以作出以下解释：1、解释1：lx在实数中取值lP表示等于0l表示x

2、-ala=5因此，公式解释为。令x=5,则s(x)->5s(f(a,x)->I(f)(I(a),s(x))令x=6，则2、解释2：lx在实数中取值lP表示大于等于0l表示因此，公式解释为。这个公式不必对a和x作出具体解释，就可以确定公式的真值。即对于任何实数x，和赋值映射v，。由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：üx取值于哪里？即规定讨论问题的领域。ü给出谓词的含义和谓词的真值ü给出函数的解释ü给出变量和常量的值ü根据连接词的赋值规则，赋值这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A.Tar

3、ski，其奠基性文章是他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。后来被称为模型论—标准语义学理论。进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。这体现在他1947年发表的《意义和必然性》一书中；卡普兰·克里普克(S.kripke)和蒙太古作出了进一步的贡献，提出了非经典逻辑的语义学理论—模态逻辑语义学(克里普克结构)。4.5.1形式语义基本概念1、指称语义：语义是由语义结构和以及在这种结构下公式赋真值的规定构成的。2、语义结构：对于抽象公理系统或形式系统作出的一种解释。包括个体域和在这种个体域上的个体运算和个体间关系。下面给出形式系统语义的定义：3、形

4、式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组成：a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。其中U和I的性质如下：i.U为非空集合，称为论域或者个体域；ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关系（的子集）。b)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派：s：varibles－>U。对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上：：TERM－>U

5、；＝S(t)当t为变元S指派t中变元由解释确定当t为非变元F(x,a)=I(f)(x,I(a))=s1(I(f)(x,I(a)))=I(f)(s(x),I(a))P(f(a,x))=I(P)(I(f)(a,s(x)))c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。根据这个赋值规则，可以将赋值映射进行扩展：v为：a)可满足：公式A称为可满足，如果存在结构S与指派s，使一个赋值映射v满足v(A)=1,否则为不可满足。

6、=P(f(x,y))F(x,y)s(x,y)=(1,2)s(f(x,y))=I(f)

7、(1,2)=I(f)(s(x),s(y))V(P(x,y)=V(I(P)(s(x),s(y))àV(I(Q)(s(x)))4.5.1一阶谓词语义1、语义结构：一阶谓词形式系统采用TARSKI语义结构。这种语义结构以为其真值集合。每一个Tarski语义结构S，由非空集合U和下列解释I构成：i．常元：对于任一常元a,I(a)U,I(a)记为，为论域中的一个元素；ii．函数：对于任一n元函数为U的一个n元函数，记为：；iii．谓词：对于任一n元谓词，为U上的一个n元关系，记为，。当n=1时，为U的子集。2、指派：指派S为变元集合到上的映射。S可以扩展为：F(a,x)S(x)=5S(

8、f(a,x))=I(f)(I(a),S(x))=I(f)(I(a),5)i．对于每一变元v：；ii．对于每一常元a：；iii．对于每一个n元函词fn和项t1，t2…….tn：S(F(x1,x2))=F(S(x1),S(x2))由此可见，指派与结构无关，而与结构相关。3、赋值：i．赋值映射v：Atomicà定义为：对任何n元谓词及项t1……tn，当且仅当<>，其中。Y>=X+1P(x,y),I(P)={<1,2>,<2,1>,<2,3><3,2>},s(x)==3,s(y)=2?;;;I(P)(s(x),