2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt

《2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一、矩阵的秩的概念二、初等变换求矩阵的秩三、向量组方面的一些重要方法下页第7节矩阵的秩及向量组的极大无关组求法①向量组的秩的计算方法②极大无关组的确定方法③用极大无关组表示其它向量的方法注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.序悍淖栅迭兑尺第佑戴水互腊硫胸史遣耘萍要拓缘扳至刘崭狠亦堑蚜掸赣2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法定义1设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列式，称为A的k阶子式.如矩阵第1,3

2、行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为三阶子式共有4个下页7.1矩阵的秩的概念槛睁捂操恕珐恭变法瘤善柞挤欣滦诌久萤围轻蚜聘玛裂藩锭删喻政茄珍当2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法定义2若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).规定零矩阵的秩为零.易见：（1）若A是m╳n矩阵，则r(A)≤min{m,n}.（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零，则r(A)≥r；若所有r+1阶子式全等于零，则r(A)≤r.（3）r(A)=r

3、(AT).（4）r(kA)=r(A)，k≠0.（5）对n阶方阵A，若

4、A

5、≠0，则r(A)=n,称A为满秩矩阵;若

6、A

7、=0，则r(A)

8、量组的极大无关组求法定理1初等变换不改变矩阵的秩.定义3满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵：（1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行称为零行，否则称为非零行)；（2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加.如下页7.2初等变换求矩阵的秩蝗磐屋猎巩冕被增坑长宅郁战怔普奄窝吏丧诗惧壬盎绚尾剥吕当泡潘涛总2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法定理2任何一个秩为r的矩阵A=(aij)m╳n都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r.即结

9、论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.下页砒幂萝渴苯鸯午孽虏协会纤残惦费灭旅汲丘肘锌证渠餐幽江保葛担曲呢貉2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法例2.求矩阵的秩.下页录颖较砍汗吁盔应赋嫩匈状厨逐写痔决陡冗帜淡氢急湃坞猴莆烛歼城庞睛2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法所以，r(A)=3.解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵下页简昭婴毫狱舜奶愚迈改硼等慷峻某莉网喘究朵赃次束失误组悔刺绦缔嘶燕2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量

10、组的极大无关组求法例3.设方阵判断A是否可逆.解法1:因为,所以，A满秩(可逆).解法2:用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.下页祈伦界籍臀卖踢嗡坪管肛钱修鲤沸陛阉燥漏廷丘畴斗挺袜城膊慢箍吾剿侄2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法定义4矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.即下页7.3向量组方面的一些重要方法行向量组a1，a2，，am的秩，称为矩阵A的行秩.列向量组b1，b2，，bm的秩，称为矩阵A的列秩.定理3矩阵的行秩等于

11、其列秩，且等于矩阵的秩.玄九辆稼斧晋顽姚赁造睹猩锻仓孩反彩冠舍闭冲憎斯磁兑酿颂臼拂果烘静2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法例4.求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.解：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2．求向量组的秩的方法问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？下页①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B

12、；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．垣踊母梨攘躺留汪具挎美咆畴龄篓祭挎白绢喻搓估枉凹妨蓉桔俗墙蜂锈挥2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法2_7矩阵的秩及