7、A满秩，故A可逆.下页定义4矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.即下页7.3向量组方面的一些重要方法行向量组a1，a2，，am的秩，称为矩阵A的行秩.列向量组b1，b2，，bm的秩，称为矩阵A的列秩.定理3矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.例4.求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.求向量组的秩的方法下页①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中
8、非零行的个数即为所求向量组的秩．解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2．例4.求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2．求向量组的秩的方法下页①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的
9、个数即为所求向量组的秩．问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？定理4矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略,下面通过例子验证结论成立.线性关系:矩阵A矩阵A1矩阵A2求向量组的极大线性无关组的方法下页①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组．由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法：下页矩阵A2矩阵A3矩阵B例5.求下列向量组的一个极大无关组，其中：解：以给
10、定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵矩阵B已是阶梯形矩阵,B的每阶梯首列所在的列是1，2，4列，所以A的第1，2，4列就是A的列向量组的极大线性无关组，即a１,a２,a４是向量组的一个极大线性无关组.下页行最简形矩阵一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式)是指它为阶梯形矩阵,且它的每一行的第一个非零元素均为1,第一个非零元素所在的列其余元素均为0．例如,利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形矩阵C.用极大线性无关组表示其它向量的方法下页即列向量组的一个极大无关组化为了单位向量组.
11、用极大线性无关组表示其它向量的方法为：①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；④根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其它向量．下页例6.求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量:解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为行最简形:根据行最简形矩阵C可知a１,a２,a４是向量组的一个极大无关组，且a3=2a1-a２+0a４,a5=a1+a２+a４.下页3560假设第5列为，该如何表示？一
12、、填空题1．若向量组a１，a２，…，am，线性相关，则它的秩（）m．2．一个向量组若含有两个以上的极大无关组，则各极大无关组所含向量个数必（）．3．设a１，a２，…，ar线性无关，且可由b１，b２，…，bs线性表示，则r()s．１．设A是n阶方阵且
13、A
14、＝0，则（）．1)A中必有两行（列）元素对应成比例．2)A中至少有一行（列）的元素全为0．3)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向
