2020版高考数学复习专题5解析几何解密高考5圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”教案文.docx

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1、解密高考⑤　圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”————[思维导图]————————[技法指津]————圆锥曲线解答题的常见类型是：第(1)小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第(2)小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步

2、，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，选用恰当运算方法，合理地简化运算．,母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.本题考查：直线过定点问题以及圆的方程的求法，考查学生的直观想象及数学运算等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到证明直线AB过定点，想到利用合适的参数表示直线AB的方程．(2)看到求圆的方程，想到求圆心坐标及半径．本题

3、已知圆心E，可根据圆E与直线AB相切于AB的中点确定半径．[规范解答·评分标准](1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.··························2分由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.··4分故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.··············6分(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，····7分于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.······

4、·····················8分设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.························10分当t＝0时，

5、

6、＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；··········11分当t＝±1时，

7、

8、＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.·······12分[构建模板·四步解法]　解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤母题突破1：2019年郑州模拟母题突破2：2019年济南模拟设抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线x＝p与E交于A，B两点，△ABF的面积

9、为8.(1)求E的方程；(2)若M，N是E上的两个动点，

10、MF

11、＋

12、NF

13、＝8，试问：是否存在定点S，使得

14、SM

15、＝

16、SN

17、？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．[解]　(1)依题意得F.由得y＝±p，不妨设A(p，p)，B(p，－p)，则

18、AB

19、＝2p.又F到直线AB的距离为，所以S△ABF＝×2p×＝p2.依题意得，p2＝8，解得p＝4，所以E的方程为y2＝8x.(2)法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)，则x0＝，y0＝.由抛物线的定义，得

20、MF

21、＋

22、NF

23、＝x1＋2＋x2＋2，因为

24、MF

25、＋

26、NF

27、＝8，所以x1＋x2＝4，所以

28、x0＝2.当x1≠x2时，y1＋y2≠0，kMN＝＝＝＝，则线段MN的垂直平分线为y－y0＝－(x－2)，即y＝－(x－6)，所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)；当x1＝x2时，线段MN的垂直平分线为x轴，它也过点S(6,0)．综上，存在定点S(6,0)，使得

29、SM

30、＝

31、SN

32、.法二：假设存在定点S，使得对E上满足条件的动点M，N恒有

33、SM

34、＝

35、SN

36、，由对称性可知，点S必在x轴上，故可设S(t,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由抛物线的定义，得

37、MF

38、＋

39、NF

40、＝x1＋2＋x2＋2，因为

41、MF

42、＋

43、NF

44、＝8，所以x1＋x2＝4，由

45、SM

46、＝

47、SN

48、，得＝，

49、所以(x1－t)2＋8x1＝(x2－t)2＋8x2，即[(x1＋x2)＋(8－2t)](x1－x2)＝0，所以(6－t)(x1－x2)＝0　①，因为①对满足条件的任意M，N恒成立，所以t＝6.故存在定点S(6,0)，使得

50、SM

51、＝

52、SN

53、.法三：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)．由抛物线的定义，得

54、MF

55、＋

56、NF

57、＝x1＋2＋x2＋2，因为

58、MF

59、＋

60、NF

61、＝8，所以x1＋x2＝4，故x0＝2.当直线MN的斜率存在时，可设其方程为y＝kx＋b(k