线性空间的同构.ppt

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和第六章线性空间§6.8线性空间的同构一、同构映射的定义二、同构的有关结论§6.8线性空间的同构§6.8线性空间的同构一、同构映射的定义设　　都是数域P上的线性空间，如果映射具有以下性质：则称　　　　　的一个同构映射（isomorphismmapping），同构，记作（ii）（iii）（i）为双射并称线性空间§6.8线性空间的同构为V的一组基，则V到Pn的一一对应例1V为数域P上的n

2、维线性空间，这里　　　　　为　在　　　　　基下的坐标，就是一个V到Pn的同构映射，所以§6.8线性空间的同构任取　　　　设则从而§6.8线性空间的同构1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.二、同构的有关结论映射，则有（1）2、设　　是数域P上的线性空间，　　　　的同构证：在同构映射定义的条件iii)中分别取　　　　　　　即得§6.8线性空间的同构（2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.证：§6.8线性空间的同构相关（线性无关）.（3）V中向量组线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象线性因为由可得证：§6

3、.8线性空间的同构而　是一一对应，只有所以可得可得反过来，由§6.8线性空间的同构（4）设　　　　　　　　　　为V中任意一组基.证：由（2）（3）知，　　　　　　　　为　的一组基.所以§6.8线性空间的同构（5）的逆映射　　为　　的同构映射.首先　　　　　　是1－1对应，并且证：I为恒等变换.任取由于　是同构映射，有§6.8线性空间的同构同理，有所以，　为　　　的同构映射.再由　是单射，有§6.8线性空间的同构是的　子空间，且（6）若W是V的子空间，则W在　下的象集首先，证：其次，对有W中的向量使§6.8线性空间的同构于是有

4、由于W为子空间，所以从而有所以　　　是的　子空间.§6.8线性空间的同构由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合显然，　也为W到　　　的同构映射，即注意及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.§6.8线性空间的同构设为线性空间的同构3、两个同构映射的乘积还是同构映射.任取有映射，则乘积　　是　　　的1－1对应.证：§6.8线性空间的同构所以，乘积　　是　　　的同构映射.§6.8线性空间的同构同构关系具有反身性：对称性：传递性：注意§6.8线性空间的同构4、数域P上的两个有限维线性空间　　同构若　　　由性质2之（4）即

5、得证：§6.8线性空间的同构若由性质1，有§6.8线性空间的同构例2把复数域看成实数域R上的线性空间，证法一：证维数相等证明：首先，　　　　可表成其次，若则所以，1，i为C的一组基，又，所以，故，§6.8线性空间的同构证法二：构造同构映射则　为C到R2的一个同构映射.作对应