函数的周期性和对称性.ppt

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1、函数的周期性一、周期函数的概念一般地，对于函数f(x),如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周日中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）。注意：函数的周期性是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律．值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期．【例1】偶函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，求f(116.5)的值

2、．【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6.又116.5＝19×6＋2.5，所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5.【例2】已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点，且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值．【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，则f(u)＝f(u＋3)，所以函数f(x)的周期为3.依题意，f(0)＝0，且2010＝670×3，所以f(2010)＝f(0)＝0.【例3】已知定义在R上的奇函

3、数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.【例4】函数的对称性一、对称函数的概念注意：函数的对称性是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值对称变

4、化的规律。【例5】【解析】【方法提炼】【例6】【解析】二、周期性和对称性的结论