解三角形（教师）.doc

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1、2010-2011第二学期高一数学期末复习———解三角形知识点梳理1．斜三角形中各元素间的关系:在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边．（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π．（2）正弦定理：（R为外接圆半径）（3）余弦定理：也可以写成第二种形式：，，2．解三角形：解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．（1）角与角关系：A+B+C=π，（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb．（3）边与角关系：正弦定理（R为外接圆半径）．余弦定理c2=a

2、2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．它们的变形形式有：a=2RsinA，，．（4）面积公式：．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．（2）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a、b、c，应余

3、弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．题型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1、在△ABC中，已知三边满足（a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则∠C等于.2、在中，=．3、（1）中,若三角形有两解,则的取值范围是（2）在中,若，且三角形有解，则的取值范围为4、已知圆的内接四边形中，求四边形的面积5、在中，分别是角的对边，且=.（1）求角的大小；（2）若=，=4，求的面积.题型2：三角形形状的判断1、在△ABC中，bcosA＝acosB，则三角形的形状为2、在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？3、在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形

4、状.4、在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状.题型3：正余弦定理在平面几何证明中的应用1、用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方和等于四边的平方和。2、如图，是中边上的中线，求证：3、在△ABC中，的外角平分线交的延长线于，用正弦定理证明：题型4：正余弦定理的实际应用1、某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于_________2、甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是______________3、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边

5、的中线，那么BC=.4、货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角，A处有灯塔其方位角，在C处观测灯塔A的方位角，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是5、外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域，如图:我国某海岛海岸线是半径为6海里的圆形区域，在直径的两个端点A、B设立两个观察点，已知一外轮在点P处，测得.ABP（1）当时，该外轮是否已进入我领海主权范围内?（2）角应满足什么关系时？就应向外轮发出警告，令其退出我海域.解：（1）取AB得中点O，连结OP，在三角形PBO中，=252---------------------

6、------4分故该外轮已经进入我领海主权范围内.----------------------6分（2）在三角形APB中，，AB=12，由正弦定理得：-----------------------10分在三角形POB与PBO中，设，，-------------------------12分，当时得：即.------------------16分6．·甲乙·X´XY´YO如图，有两条相交成的直路，，交点是，甲、乙分别在上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后甲沿方向用2km/h的速度，乙沿方向用4km/h的速度同时步行.设t小时后甲在上点A处，乙在上点

7、B处.（1）求t=1.5时，甲、乙两人之间的距离；（2）求t=2时，甲、乙两人之间的距离；（3）当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短？解：（Ⅰ）当t=1.5时，甲运动到点O，而乙运动了6km，故这时甲、乙之间的距离为7.…………………4分（Ⅱ）当t=2时，点A在直线XX′上O点左侧距离O点1km处，而点B在直线YY′上O点上方距离O点9km处，这时∠AOB=60o，所以，由余弦定理得AB===（km）………………………8分（Ⅲ）当时，………………………10分当时，…………………12分∴t小时后，甲、乙两人的距离为km∵∴当小时，甲、乙两人的距离最短．

8、………………14分题型5：有关的取值范围和最值问题1、设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的