《素材》《简单线性规划》（北师大版）生活中线性规划问题.pptx

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1、生活中的线性规划问题下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素A，B的含量及单价：甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400单价(元/千克)765营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解设购买甲种食物x千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物(10－x－y)千克，又设总支出为z元，依题意得z＝7x＋6y＋5(10－x－y)，化简得z＝2x＋y＋50.x

2、，y应满足的约束条件根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示.画直线l0：2x＋y＝0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l的不包含直线l0的另外一侧，该点到直线l0的距离最小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，容易看出，点M符合上述条件，点M是直线y＝2与直线2x－y＝4的交点.因此，当x＝3，y＝2时，z取得最小值zmin＝2×3＋2＋50＝58，此时，10－x－y＝5.答购买甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克时，付出的金额最低为

3、58元.反思与感悟：把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。大致可分为以下三个步骤：（1）准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；（2）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；（3）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。画直线l0：20x＋10y＝0.即2x＋y＝0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l的包含直线l0的同一侧，该点到直线l0的距离最大，则这一点

4、的坐标使目标函数取最大值，容易看出，图中的点M符合上述条件.点M是直线2x＋5y＝13与直线5x＋4y＝24的交点.因此当x＝4，y＝1时，z取得最大值.此时，zmax＝20×4＋10×1＝90.答在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋，可获得最大利润9000元.A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加.已知A区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；B区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务.如果要求B区参与活

5、动的同学比A区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元.怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？要点六线性规划中的整数解问题解设A、B两区参与活动的人数分别为x，y，受到服务的老人人数为z，则z＝5x＋3y，根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示.画直线l0：5x＋3y＝0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域中的某点.容易看出，点M符合上述条件，点M是直线x－y＋1＝0与直线3x＋5y＝37的交点.因此，当x＝4，y＝5时，z

6、取得最大值，并且zmax＝5×4＋3×5＝35.答A、B两区参与活动同学的人数分别为4、5时，受到服务的老人最多，最多为35人.