常见递推数列通项的求解方法.doc

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1、6常见递推数列通项的求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析：上述个等式相加可得：评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。类型二：（可以求积）累积法例2、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式；评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类

2、型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例3在数列中，，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。类型四：可将其转化为-----（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。7例4、在数列中，，，且求数列的通项公式。解析：令得方程组解得则数列是以为首项，以2为公比的等比数列评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例5已知、,,求解析：令，整理得；两边同除以得，

3、，令，令，得，故是以为首项，为公比的等比数列。，即，得类型五：（且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。7（1）若，则可设∴∴解得：，∴是以为首项，k为公比的等比数列∴∴将A、B代入即可（2）若（0，1），则等式两边同时除以得令则∴可归为型例6设在数列中，，求数列的通项公式。解析：设展开后比较得这时是以3为首项，以为公比的等比数列即，例7在数列中，，求数列的通项公式。解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。即例8在数列中，，求数列的通项公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再

4、加上得；两边同除以，得7是以为首项，1为公差的等差数列。，评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。例9已知数列满足，求数列的通项公式。解析：在中取掉待定令，则，；再加上得，，整理得：，令，则令；即；数列是以为首项，为公比的等比数列。，即；整理得类型六：（）倒数法例10已知，，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，；；是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。类型七：例11已知数列前n项和.求与的关系；（2）求通项公式.7解析：时，，得；

5、时，；得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列；；得。类型八：周期型例12若数列满足，若，则的值为___________。解析：根据数列的递推关系得它的前几项依次为：；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；.评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。类型九、利用数学归纳法求通项公式例13已知数列满足，求数列的通项公式。解析：根据递推关系和得，所以猜测，下面用数学归纳法证明它；时成立（已证明）假设时，命题成立，即，则时，==。7

6、时命题成立；由可知命题对所有的均成立。评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。8、已知数列满足，求数列的通项公式。9、已知数列满足，，求。10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；c=2（II）求的通项公式．11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两

7、条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　5　；当时，　　　　　（用表示）．7、已知数列满足，求数列的通项公式。8、已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；（2）求证：数列是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式2、已知a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.3、已知数列中，是其前项和，并且，7⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数

8、列的通项公式及前项和。9、已知数列满足，求数列的通项公式。16、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。7、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？2、在数列中，-42、已知是由非负整数组成的数列，满足，，（n