一级倒立摆系统分析报告.doc

《一级倒立摆系统分析报告.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、......一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型小车导轨xlF摆杆ɸɸ图1-1一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）.专业专注.......图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为

2、矢量正方向。FNPMXBx’X’’mgNPθIθ’’图1-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：Mx＝Ｆ-ｂx-Ｎ(1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N=md2dt2(x+lsinθ)(1-2)即：N=mx+mlθcosθ-mlθ2sinθ(1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程：M+mx+bx+mlθcosθ-mlθ2sinθ=F(1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程：P-mg=md2dt2(lcosθ)(1-5).专业专注.......P-mg=-mlθsinθ-

3、mlθ2cosθ(1-6)利用力矩平衡方程可以有：-Plsinθ-Nlcosθ=Iθ(1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=-cosθ，sinɸ=-sinθ，所以等式前面含有负号。合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：I+ml2θ+mglsinθ=-mlxcosθ(1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=-1，sinθ=-ɸ，（dθdt）2=0。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：I+ml2ɸ-mglɸ=mlxM+mx+bx-mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9

4、）进行拉普拉斯变换，可以得到：I+ml2Φss2-mglΦs=mlX(s)s2M+mXss2+bXss-mlΦss2=U(s)(1-10)由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：Xs=[I+ml2ml-gs2]Φs(1-11)或改写为：ΦsXs=mls2I+ml2s2-mgl(1-12)如果令v=x,则有：ΦsV（s）=mlI+ml2s2-mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：.专业专注.......M+mI+ml2ml-gsΦss2+bI+ml2ml+gs2Φss-mlΦss2=U(s)(1-14)整理后可得传递函数：ΦsU(s)=mlqs2s4+b

5、I+ml2qs3-M+mmglqs2-bmglqs(1-15)其中q=[M+mI+ml2-(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du(1-16)方程组对x,ɸ解代数方程，可以得到解如下：x=xx=-I+ml2bIM+m+Mml2x+m2gl2IM+m+Mml2ɸ+I+ml2IM+m+Mml2uɸ=ɸɸ=-mlbIM+m+Mml2x+mgl(M+m)IM+m+Mml2ɸ+mlIM+m+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：xxɸɸ=01000-I+ml2bIM+m+Mml2m2gl2IM+m+Mml2000010-mlbIM+m+Mml2mgl(M+m

6、)IM+m+Mml20xxɸɸ+0I+ml2IM+m+Mml20mlIM+m+Mml2u.专业专注.......y=xɸ=10000010xxɸɸ+00u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：I+ml2ɸ-mglɸ=mlx对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：13ml2+ml2ɸ-mglɸ=mlx化简可以得到：ɸ=3g4lɸ+34lx(1-19)设X={x,x,ɸ,ɸ}，u=x则有：xxɸɸ=010000000001003g4l0xxɸɸ+01034luy=xɸ=10000010xxɸɸ+00u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。在实际系统中模型

7、参数如下：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m.专业专注.......将上述参数代入，就可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：ΦsXs=0.02725s20.0102125s2-0.26705(1-21)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：ΦsV（s）=0.027250.0102125s2-0.26