2019秋九年级数学上册解题技巧专题比例式、等积式的常见证明方法（新版）北师大版.docx

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1、解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，并且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：＝.类型二　利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.3．★如图，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F.求证：DE2＝BE·CE.类型三　找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC中，点

2、D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝.证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE

3、，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴＝.2．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABE.又∵∠CAB＝∠BAE，∴△ACB∽△ABE，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.3．证明：如图，连接AE.∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠4.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE＝∠2＋∠3，∠4＝∠B＋∠1，∴∠B＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC，∴△BEA∽△AEC.∴＝，∴AE2＝BE·CE，∴DE2＝BE·CE.4．证明：∵AE∥DC，∴∠QDC＝∠E

4、，∠QCD＝∠QAE，∴△QCD∽△QAE，∴＝.∵AE∥BD，∴∠B＝∠PAE，∠BDP＝∠AEP，∴△BDP∽△AEP，∴＝.∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，即PD·EQ＝PE·DQ.