2018-2019学年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版选修.docx

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1、四　柱坐标系与球坐标系简介学习目标　1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题．知识点一　柱坐标系思考　要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？答案　空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．梳理　柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点

2、P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为知识点二　球坐标系思考　要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示．答案　可以．梳理　球坐

3、标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记

4、OP

5、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点P的直角坐标(x，y，

6、z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为类型一　柱坐标与直角坐标的互化例1　(1)已知点A的直角坐标为(－1，，4)，求它的柱坐标；(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．解　(1)设点A的柱坐标为(ρ，θ，z)，则　解得∴点A的柱坐标为.(2)由变换公式得x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点P的直角坐标为(2,2，8)．反思与感悟　(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝，求θ，在求θ

7、的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．跟踪训练1　(1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；(2)已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标．解　(1)ρ＝＝＝1.∵x＝0，y>0，∴θ＝.∴点M的柱坐标为.(2)由变换公式x＝2cos＝0，y＝2sin＝2，故点N的直角坐标为(0,2,3)．类型二　球坐标与直角坐标的互化例2　(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标．解　(1)由变换公式，

8、得x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2.y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2.z＝rcosφ＝4cos＝－2.故其直角坐标为(2,2，－2)．(2)由坐标变换公式，可得r＝＝＝4.由rcosφ＝z＝－2，得cosφ＝＝－，φ＝.又tanθ＝＝1，θ＝，从而知M点的球坐标为.反思与感悟　由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．跟踪

9、训练2　把下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)；(2).解　设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，φ，θ)＝，∴∴(－1，－1，－)为所求．(2)∵(r，φ，θ)＝，∴∴为所求．类型三　求点的坐标例3　已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标．解　点C1的直角坐标为(1,1，)，设C1的柱坐标为(ρ，θ，)，ρ＝＝，tanθ＝＝1，θ＝，所以C1的柱坐标为，设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中

10、r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得r＝＝＝2.由z＝rcosφ，得cosφ＝，φ＝，又tanθ＝＝1，∴θ＝，从而点C1的球坐标为，柱坐标为，直角坐标为(1,1，)．反思与感悟　(1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式．(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系．跟踪训练3　在例3的条