高中数学第二章第3课时预习导航学案.docx

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1、2.2平面向量的线性运算（第3课时）预习导航课程目标学习脉络1.理解向量数乘的定义及几何意义．2．掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线.1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ＝0λa＝0λ<0λa的方向与a的方向相反思考1向量数乘与原向量有什么样的关系？提示：向量数乘与原向量是共线向量．思考2向量数乘λa的几何意义是什么？提示

8、：(1)当

9、λ

10、>1时，有

11、λa

12、>

13、a

14、，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了

15、λ

16、倍．(2)当0<

17、λ

18、<1时，有

19、λa

20、<

21、a

22、，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了

23、λ

24、倍．思考3向量的大小与方向如何？提示：向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量是向量a方向上的单位向量．2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa

25、；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.思考4共线向量定理中为何要限制a≠0?提示：共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立．并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在．特别提醒(1)如果非零向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0

26、.(2)共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.