2019年高中数学第5章数系的扩充与复数5.4复数的几何表示讲义含解析湘教版选修2-2.doc

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1、5．4复数的几何表示[读教材·填要点]1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点P(a，b)；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量＝(a，b)．3．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫作复数z的模，记作z，且z＝.4．共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，将复数a－bi称为原来的复数z的共轭复数，记作：.(2)性质：①＝z；②复平面上两点

2、P，Q关于x轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭．5．复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OPSQ为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.[小问题·大思维]1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点在原点．2．若复数(a－1)＋ai(a∈R)在复平面内对应的点P在第二象限，则a的取值范围是什么？提示：由题意知即0

3、的共扼复数是它本身．5．从复数减法的几何意义理解：z1－z2表示什么？提示：表示P1与P2两点间的距离．复数几何意义的应用求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．[自主解答](1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，

4、b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．1．在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且＝3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量对应的复数．解：根据题意设复数z＝3＋bi，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b)，已知＝3，即＝3，解得b＝0，故z＝3，点A的坐标为(3,0)．因此，点A关于原点的对称点为B(－3,0)，所以向量对应的复数为z′＝－3.复数模的求法(1)若复数z对应的点

5、在直线y＝2x上，且z＝，则复数z＝()A．1＋2iB．－1－2iC．±1±2iD．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且z1＜z2，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)[自主解答](1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由z＝得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为z1＝，z2＝＝，所以＜，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案](1)D(2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但

6、它们的模可以比较大小．2．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若z1－z2＜z1，求实数a的取值范围．解：由条件可知z1－z2＝(4－a)＋2i.又z1－z2＜z1，即＜，解得1＜a＜7.所以实数a的取值范围是(1,7)．共轭复数的应用设z∈C，为z的共轭复数，若z·＋iz＝，求z.[自主解答]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)．∵＝3－i，∴(a＋bi)(a－bi)＋i(a＋bi)＝3－i.∴解得或∴z＝－1－i或z＝－1＋2i.保持例题条件不变，求的值．解：当z＝－1－i时，＝－1＋i，∴＝＝＝＝－i；当z＝－1＋2i时，＝－1－2i，∴＝＝＝

7、＝－＋i.∴＝－i或＝－＋i.此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．3．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.复数加减运算的几何意义已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复