2019年高考数学三轮冲刺专题21不等式选讲专项讲解与训练.doc

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1、专题21.不等式选讲绝对值不等式的解法　1．

2、ax＋b

3、≤c，

4、ax＋b

5、≥c型不等式的解法(1)若c＞0，则

6、ax＋b

7、≤c⇔－c≤ax＋b≤c，

8、ax＋b

9、≥c⇔ax＋b≥c，或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c＜0，则

10、ax＋b

11、≤c的解集为∅，

12、ax＋b

13、≥c的解集为R.2．

14、x－a

15、＋

16、x－b

17、≥c，

18、x－a

19、＋

20、x－b

21、≤c型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这

22、个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．(2)由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.(1)证明不等式常用的方法有①综合法；②分析法；③比较法；④利用柯西不等式(二维形式)．(2)二维柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立，该不等式既是证明不等式的有效武器，更是求二元变量关系式最值的高效法宝．　【对点训练】1．(2019.合肥模拟)已知函数f

23、(x)＝

24、x－2

25、.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a＜0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．【解析】：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝

26、x－1

27、＋

28、x－2

29、.因此只要解不等式

30、x－1

31、＋

32、x－2

33、≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当1＜x≤2时，原不等式等价于1≤2，即1＜x≤2；当x＞2时，原不等式等价于2x－3≤2，即2＜x≤.综上，原不等式的解集为{x

34、≤x≤}．(2)证明：由题意得f(ax)－af(x)＝

35、ax－2

36、－a

37、x－2

38、＝

39、ax－2

40、＋

41、2a－ax

42、≥

43、ax－2＋2

44、a－ax

45、＝

46、2a－2

47、＝f(2a)，所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立．2．已知f(x)＝

48、x＋1

49、＋

50、x－1

51、，不等式f(x)＜4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2

52、a＋b

53、＜

54、4＋ab

55、.【解析】：(1)f(x)＝

56、x＋1

57、＋

58、x－1

59、＝当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2.所以M＝(－2，2)．(2)证明：a，b∈M，即－2＜a＜2，－2＜b＜2，所以4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b

60、2)＝(a2－4)(4－b2)＜0，所以4(a＋b)2＜(4＋ab)2，所以2

61、a＋b

62、＜

63、4＋ab

64、.绝对值不等式的恒成立问题1．f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a无解⇔f(x)min≥a.2．定理1：如果a，b是实数，则

65、a＋b

66、≤

67、a

68、＋

69、b

70、，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么

71、a－c

72、≤

73、a－b

74、＋

75、b－c

76、，当且仅当(a－b)(b－c)

77、≥0时，等号成立．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝

78、x＋1

79、－

80、x－2

81、.　(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．【解析】　(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x

82、x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤

83、x＋1

84、－

85、x－2

86、－x2＋x.而

87、x＋1

88、－

89、x－2

90、－x2＋x≤

91、x

92、＋1＋

93、x

94、－2－x2＋

95、x

96、＝－＋≤，且当x＝时，

97、

98、x＋1

99、－

100、x－2

101、－x2＋x＝.故m的取值范围为.含绝对值不等式恒成立问题，用等价转化思想．法一，利用三角不等式求出最值进行转化．法二，利用分类讨论思想，转化成求函数值域．法三，数形结合转化．　【对点训练】1．(2019·合肥质量检测(一))已知函数f(x)＝

102、x－m

103、－

104、x＋3m

105、(m＞0)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜

106、2＋t

107、＋

108、t－1

109、恒成立，求m的取值范围．【解析】：(1)f(x)＝

110、x－m

111、－

112、x＋3m

113、＝当m＝1时，由，或x≤－3，得x≤－，所以不等式f(x)≥1的解集

114、为{x

115、x≤－}．2．(2019·昆明质量检测)已知函数f(x)＝

116、x＋2

117、.(1)解不等式2f(x)＜4－

118、x－1

119、；(2)已知m＋n